Combinação perfeita de peso mínimo com número par de bordas vermelhas

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Considere um gráfico ponderado com algumas bordas vermelhas. Estamos interessados em encontrar uma correspondência perfeita, de modo que o número de bordas vermelhas seja uniforme e, nas restrições anteriores, o peso seja minimizado.

Este problema é solucionável em tempo polinomial? Mesmo para gráficos bipartidos?

Que tal uma extensão natural. O caso em que há um número constante de cores e o número de arestas de cada cor na correspondência deve ser par.

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— Chao Xu
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Eu acho que seu problema é solucionável em tempo polinomial aleatório, se os pesos estiverem delimitados polinomialmente no tamanho do gráfico. Você pode usar uma abordagem baseada no algoritmo de correspondência algébrica de Mulmuley, Vazirani e Vazirani. Ele foi útil para aplicações semelhantes no passado, veja, por exemplo, a Proposição 9 e a discussão anterior no artigo de Daniel Marx https://doi.org/10.1016/j.ipl.2003.09.016 .

No tempo polinomial aleatório, você pode determinar se existe uma correspondência perfeita cujo peso seja exatamente um valor prescrito, em um gráfico de número inteiro com pesos delimitados polinomialmente no tamanho do gráfico. Agora, digamos que seu gráfico tem vértices eo peso máximo é de . Pese novamente as bordas vermelhas do gráfico da seguinte maneira: se o peso original fosse x, o novo peso se tornará . (Também suponho que todos os pesos não são negativos, o que pode ser feito facilmente adicionando o mesmo valor constante a todos eles.) Em seguida, observe o seguinte: qualquer correspondência perfeita no gráfico re-ponderado cujo peso total esteja no intervalo $n$ $W$ $(nW+1) + x$ $[0 ... nW]$ , é uma combinação perfeita com 0 bordas vermelhas. Se o seu peso total estiver no intervalo , será uma combinação perfeita com exatamente 2 bordas vermelhas. Em geral, a partir da faixa de peso, é possível inferir o número de bordas vermelhas. $[2(nW+1) ... 2(nW+1) + nW]$

Portanto, para encontrar uma correspondência de peso mínimo com um número par de bordas vermelhas, basta percorrer todas as faixas de peso correspondentes às correspondências com um número par de bordas vermelhas, testando para cada peso nessa faixa se existe uma correspondência perfeita de esse peso e dimensionando o peso de cada correspondência reponderada com base no número de arestas vermelhas contidas nele, para descobrir qual delas corresponde à correspondência perfeita com o peso mínimo par vermelho no gráfico original. Por técnicas padrão de auto-redução, você também pode extrair a correspondência em si, e não apenas o valor, mas pode ser necessário aumentar a probabilidade de sucesso fazendo várias tentativas para obter uma boa probabilidade geral de sucesso ao fazer a auto-redução.

— Bart Jansen
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Obrigado. Isso parece funcionar também para o caso mais geral em que o número de cores é constante e cada cor precisa aparecer um número par de vezes na correspondência.

— Chao Xu

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O problema é solucionável em tempo polinomial.

Após discutir com Vivek Madan , podemos mostrar que a prova do Teorema 5.1 em Combinação Perfeita em Gráficos Planares Bipartidos também está nos trabalhos da UL no contexto ponderado (o resultado é decidir se existe uma solução viável).

$R$ $M$ $|M\cap R|$ $C$ $M$ $|C\cap R|$ $M$ $M\triangle C$

$M\triangle C$

O problema se reduz a encontrar um ciclo alternado que contém um número ímpar de bordas vermelhas.

Para gráficos bipartidos, o problema é fácil, pois pode ser reduzido para encontrar um ciclo ímpar de peso mínimo em um gráfico direcionado sem ciclos negativos. O que parece ser solucionável no tempo polinomial por várias contas (mas não consigo encontrar uma citação concreta). Um algoritmo semelhante ao Floyd-Warshall é suficiente. ~~Para gráficos gerais, uma abordagem semelhante funciona, mas a redução é um pouco mais envolvida.~~ Na verdade, não sabemos como fazer isso para gráficos gerais.

Observe que o caso do gráfico bipartido na verdade segue um teorema mais geral. Aqui citamos diretamente o seguinte problema de Artmann, Weismantel, Zenklusen 17

Otimização de TU paritária

$T$ $rank(T)=n$ $b\in > \mathbb{Z}^m,c\in \mathbb{Z}^n,\alpha\in \{0,1\}$ $S\subset [n]$
$max {c^{T} x : T x \leq b, x \in Z_{\geq 0 0}^{n}, x (S) \equiv α (\mod 2)}$ $\max\{c^T x: Tx\leq b, x\in \mathbb{Z}^n_{\geq 0}, x(S)\equiv \alpha \pmod 2\}$

$rank(T)=n$ $x_i\geq 0$ $i$

Não temos idéia do caso em que há um número constante de cores.

— Chao Xu
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