Números naturais não comparáveis

O "nome do jogo com o maior número" pede a dois jogadores que anotem um número secretamente, e o vencedor é a pessoa que anotou o número maior. O jogo geralmente permite que os jogadores anotem as funções avaliadas em um ponto, então $2^{2^{2^{2}}}$ também seria aceitável.

O valor da função Busy Beaver, $BB(x)$ , não pode ser determinado (no ZFC, ou em qualquer sistema axiomático consistente e razoável) para valores grandes de $x$ . Em particular, $BB(10^4)$ não pode ser determinado de acordo com este artigo . No entanto, isso não significa que não possamos comparar valores da função Busy Beaver. Por exemplo, podemos provar que $BB(x)$ é estritamente monotônico .

Vamos supor que permitimos que os jogadores anotem expressões envolvendo composições de funções elementares, números naturais e a função Busy Beaver. Existem duas expressões que os dois jogadores podem escrever para que possamos provar no ZFC que determinar o vencedor no ZFC é impossível (supondo que o ZFC seja consistente)?

Edição: Originalmente, esta pergunta dizia "... combinações arbitrárias de funções computáveis, números naturais e a função Busy Beaver".

Se deixarmos $f(x)$ assumir o valor de $3$ se $BB(x) >$ [algo incrivelmente grande e inexprimível neste site] e $7$ se não for, então $f(10^4)$ e $6$ são incomparáveis.

Isso não me satisfaz, principalmente porque $f$ não é uma função razoável para alguém usar neste jogo. No entanto, não vejo como expressar minha intuição sobre isso, então restringi a pergunta para evitar funções fragmentadas.

computability undecidability

— Stella Biderman
fonte

A indecidibilidade de

ser estendida para, digamos, bits individuais? Nesse caso, basta comparar o terceiro bit menos significativo de

com o oitavo bit menos significativo.

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

— Mhum

@mhum perguntas como essa são complicadas porque o valor de

é realmente dependente da codificação. Existem codificações para as quais

é sempre par, por exemplo. Meu entendimento é que todas as perguntas nesse sentido são trivialmente computáveis ou abertas, dependendo da codificação.

B B (x)

$BB(x)$

B B (x)

$BB(x)$

— Stella Biderman

De acordo com a resposta neste post: cstheory.stackexchange.com/questions/9652/... , parece que BB é realmente estritamente monotônica

— Avi Tal

A arte de jogar esses jogos é dobrar as regras, então não acho que seja importante dizer que alguma função não é razoável. Se jogássemos o jogo, eu definitivamente acertaria você com a função mais repugnante que eu possa pensar (e eu sou um lógico).

— Andrej Bauer

B (m) > n

$B(m)>n$

m

$m$

n

$n$

B

$B$

$B$ $\Phi$ $\iff$ $\Phi$ $B$ $\neg$ $\iff$ $\Phi$

$\Phi$ $B(m_i)=n_i$ $1\le i\le k$

\sum_{i = 1}^{k} (B (m_{i}) - n_{i})^{2} > 0

$\sum_{i=1}^k (B(m_i)-n_i)^2>0$

\begin{matrix} (*) & \sum_{i = 1}^{k} B (m_{i})^{2} + n_{i}^{2} > \sum_{i = 1}^{k} 2 B (m_{i}) n_{i} \end{matrix}

$\sum_{i=1}^k B(m_i)^2+n_i^2>\sum_{i=1}^k 2B(m_i)n_i\tag{*}$

$m_i$ $n_i$

— Bjørn Kjos-Hanssen
fonte

n, m

$n,m$

n_{0} = B (7910)

$n_0=B(7910)$

B (7910) \leq n_{0}

$B(7910)\le n_0$