O problema de decidir se um CNF monótono implica um DNF monótono

Considere o seguinte problema de decisão

Entrada : um CNF monótono $\Phi$ e um DNF monótono . $\Psi$

Pergunta : uma tautologia? $\Phi \to \Psi$

Definitivamente, você pode resolver esse problema no tempo , onde é o número de variáveis em e é o comprimento da entrada. Por outro lado, esse problema é coNP-completo. Além disso, uma redução que estabelece a completação de coNP também mostra que, a menos que SETH falhe, não há algoritmo de tempo de para esse problema (isso vale para qualquer positivo ). Aqui está essa redução. Seja um CNF (não monótono) e seja sua variável. Substitua toda ocorrência positiva de por $O(2^n \cdot \mathrm{poly}(l))$ $n$ $\Phi \to \Psi$ $l$ $O(2^{(1/2 - \varepsilon)n} \mathrm{poly}(l))$ $\varepsilon$ $A$ $x$ $x$ $y$ e toda ocorrência negativa de por . Faça o mesmo para todas as variáveis. Seja o CNF monótono resultante como . É fácil perceber que é satisfatório se não é uma tautologia. Essa redução explode o número de variáveis por um fator 2, o que implica em (limite baseado em SETH) mencionado acima. $x$ $z$ $\Phi$ $A$ $\Phi \to yz \lor \ldots$ $2^{n/2}$

Portanto, existe um intervalo entre e time. Minha pergunta é se é conhecido algum algoritmo melhor ou melhor redução do SETH? $2^{n/2}$ $2^n$

Apenas duas observações aparentemente relacionadas ao problema:

um problema inverso de saber se um DNF monótono implica um CNF monótono é trivialmente solucionável em tempo polinomial.
Curiosamente, o problema de decidir se e calcula a mesma função pode ser resolvido em tempo quase polinomial devido a Fredman e Khachiyan (Sobre a complexidade da dualização de formas normais disjuntivas monótonas, Journal of Algorithms 21 (1996), não 3, pp. 618–628, doi: 10.1006 / jagm.1996.0062 ) $\Phi$ $\Psi$

exp-time-algorithms boolean-formulas fine-grained

— Sasha Kozachinskiy
fonte

Assumindo SETH, o problema não é solucionável no tempo para qualquer . $O\bigl(2^{(1-\epsilon)n}\mathrm{poly}(l)\bigr)$ $\epsilon>0$

Primeiro, deixe-me mostrar que isso é verdade para o problema mais geral em que e podem ser fórmulas monótonas arbitrárias. Nesse caso, há uma redução de ctt de politempo de TAUT para o problema que preserva o número de variáveis. Seja denotar a função de limiar $\Phi$ $\Psi$ $T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})$ Usando a rede Ajtai-Komlós-Szemerédi triagem, pode ser escrito por uma fórmula monótona de tamanho polinomial, construtıvel em tempo.

T_{t}^{n} (x_{0 0}, ..., x_{n - 1}) = 1 ⟺ | {Eu < n : x_{Eu} = 1} | \geq t .

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})=1\iff\bigl|\{i<n:x_i=1\}\bigr|\ge t.$

T_{t}^{n}

$T^n_t$

p o l y (n)

$\mathrm{poly}(n)$

Dada uma fórmula booleana , podemos usar as regras de De Morgan para escrevê-la no formato onde é monótono. Então $\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

ϕ^{'} (x_{0 0}, ..., x_{n - 1}, \neg x_{0 0}, ..., \neg x_{n - 1}),

$\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},\neg x_0,\dots,\neg x_{n-1}),$

ϕ^{'}

$\phi'$

é uma tautologia se e somente se as implicações monótonas

são válidos para cada

, onde

ϕ (x_{0}, \dots, x_{n - 1})

$\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

T_{t}^{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) \to ϕ^{'} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, N_{0}, \dots, N_{n - 1})

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})\to\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

t \leq n

$t\le n$

N_{i} = T_{t}^{n - 1} (x_{0}, \dots, x_{i - 1}, x_{i + 1}, \dots, x_{n - 1}) .

$N_i=T^{n-1}_t(x_0,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_{n-1}).$

$e$ $T^n_t$ $t$ $e'\le e$ $t$ $e'\models N_i\leftrightarrow\neg x_i$ $e'\models\phi$ $e'\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$ $e\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

$2^{\delta n}\mathrm{poly}(l)$ $k$ $k$ $k$ $2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}\mathrm{poly}(l)$ $\delta\ge1$

$k$

ϕ = \underset{i < l}{⋁} (\underset{j \in A_{i}}{⋀} x_{j} \land \underset{j \in B_{i}}{⋀} \neg x_{j}),

$\phi=\bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}\neg x_j\Bigr),$

| A_{i} | + | B_{i} | \leq k

$|A_i|+|B_i|\le k$

i

$i$

n

$n$

n^{'} = n / b

$n'=n/b$

b \approx \sqrt{k^{- 1} n \log n}

$b\approx\sqrt{k^{-1}n\log n}$

ϕ

$\phi$

\begin{matrix} (*) & \underset{u < n^{'}}{⋀} T_{t_{u}}^{b} (x_{b u}, \dots, x_{b (u + 1) - 1}) \to \underset{i < l}{⋁} (\underset{j \in A_{i}}{⋀} x_{j} \land \underset{j \in B_{i}}{⋀} N_{j}) \end{matrix}

$\tag{$*$}\bigwedge_{u<n'}T^b_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{b(u+1)-1})\to \bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}N_j\Bigr)$

n^{'}

$n'$

t_{0}, \dots, t_{n^{'} - 1} \in [0, b]

$t_0,\dots,t_{n'-1}\in[0,b]$

j = b u + j^{'}

$j=bu+j'$

0 \leq j^{'} < b

$0\le j'<b$

N_{j} = T_{t_{u}}^{b - 1} (x_{b u}, \dots, x_{b u + j^{'} - 1}, x_{b u + j^{'} + 1}, \dots, x_{b (u + 1) - 1}) .

$N_j=T^{b-1}_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{bu+j'-1},x_{bu+j'+1},\dots,x_{b(u+1)-1}).$

T_{t}^{b}

$T^b_{t}$

O (2^{b})

$O(2^b)$

(*)

$(*)$

O (n 2^{b})

$O(n2^b)$

N_{j}

$N_j$

O (2^{b})

$O(2^b)$

O (2^{k b})

$O(2^{kb})$

O (l 2^{k b})

$O(l2^{kb})$

(*)

$(*)$

O (l 2^{O (k b)})

$O(l2^{O(kb)})$

n

$n$

O (2^{δ n + O (k b)} l^{O (1)})

$O(2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)})$

b^{n^{'}}

$b^{n'}$

\vec{t}

$\vec t$

O ((b + 1)^{n / b} 2^{δ n + O (k b)} l^{O (1)}) = O (2^{δ n + O (\sqrt{k n \log n})} l^{O (1)})

$O\bigl((b+1)^{n/b}2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)}\bigr)=O\bigl(2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}l^{O(1)}\bigr)$

$k\ge3$ $k$ $\Phi$ $k$ $\Psi$ $k$

\begin{aligned} s_{k} & = inf {δ : k - S A T \in D T I M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty} & = sup {s_{k} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{SAT}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s_\infty&=\sup\{s_k:k\ge3\}. \end{align*}$

\begin{aligned} s_{k}^{'} & = inf {δ : k - M o n Eu m p \in D T Eu M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty}^{'} & = sup {s_{k}^{'} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s'_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{MonImp}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s'_\infty&=\sup\{s'_k:k\ge3\}. \end{align*}$ Claramente,

s_{3}^{'} \leq s_{4}^{'} \leq \dots \leq s_{\infty}^{'} \leq 1

$s'_3\le s'_4\le\dots\le s'_\infty\le1$ como no caso SAT. Nos tambem temos

s_{k}^{'} \leq s_{k},

$s'_k\le s_k,$ e a redução de variável dupla na pergunta mostra

s_{k} \leq 2 s_{k}^{'} .

$s_k\le2s'_k.$ Agora, se aplicarmos a construção acima com tamanho de bloco constante

b

$b$ , nós obtemos

s_{k} \leq s_{b k}^{'} + \frac{registro (b + 1)}{b},

$s_k\le s'_{bk}+\frac{\log(b+1)}b,$ conseqüentemente

s_{\infty} = s_{\infty}^{'} .

$s_\infty=s'_\infty.$ Em particular, SETH é equivalente a

s_{\infty}^{'} = 1

$s'_\infty=1$ , e ETH é equivalente a

s_{k}^{'} > 0

$s'_k>0$ para todos

k \geq 3

$k\ge3$ .

— Emil Jeřábek apoia Monica
fonte

Obrigado pela sua resposta! Estou curioso para saber se é possível fazer

Φ

$\Phi$ e

Ψ

$\Psi$ profundidade constante nesta construção? Ou seja, não sei se as fórmulas booleanas monótonas de profundidade constante de tamanho subexponencial (ou mesmo circuitos não monótonos) são conhecidas por

T_{k}^{n}

$T^n_k$ (em particular para a maioria)? Claro que há uma

2^{n^{Ω (1 / d)}}

$2^{n^{\Omega(1/d)}}$ limite inferior para profundidade

d

$d$ , mas digamos

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$ tamanho seria bom.

— Sasha Kozachinskiy

T_{k}^{n}

$T^n_k$ e, em geral, qualquer coisa computável por fórmulas de tamanho polinomial (ou seja, em NC ^ 1), possui profundidade

d

$d$ circuitos de tamanho

2^{n^{O (1 / d)}}

$2^{n^{O(1/d)}}$ . Consulte, por exemplo, cstheory.stackexchange.com/q/14700 . Vou ter que pensar se você pode torná-los monótonos, mas parece plausível.

— Emil Jeřábek apoia Monica

ESTÁ BEM. Primeiro, a construção genérica funciona bem na configuração monótona: se uma função tiver fórmulas monótonas de tamanho poli, ela terá profundidade

d

$d$ circuitos monótonos de tamanho

2^{n^{O (1 / d)}} p o l y (n)

$2^{n^{O(1/d)}}\mathrm{poly}(n)$ para qualquer

d \geq 2

$d\ge2$ . Segundo, para

T_{k}^{n}

$T^n_k$ especificamente, é fácil construir profundidade monótona

3

$3$ circuitos de tamanho

2^{O (\sqrt{n \log n})}

$2^{O(\sqrt{n\log n})}$ dividindo a entrada em blocos de tamanho

Θ (\sqrt{n \log n})

$\Theta(\sqrt{n\log n})$ .

— Emil Jeřábek apoia Monica

Na verdade, empurrando um pouco mais essa idéia, ela fornece uma resposta para a pergunta original: assumindo SETH, o limite inferior já é válido para

Φ

$\Phi$ CNF monótono e

Ψ

$\Psi$ DNF monótono. Escreverei depois.

— Emil Jeřábek apoia Monica

Eu acho que você pode dividir todas as variáveis em cerca de

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ blocos

x^{1}, \dots x^{\sqrt{n}}

$x^1, \ldots x^{\sqrt{n}}$ e depois escreva

T_{k_{1}}^{\sqrt{n}} (x^{1}) \land \dots \land T_{k_{\sqrt{n}}}^{\sqrt{n}} (x^{\sqrt{n}}) \to ϕ^{'}

$T^{\sqrt{n}}_{k_1}(x^1)\land \ldots \land T^{\sqrt{n}}_{k_\sqrt{n}}(x^{\sqrt{n}}) \to \phi^\prime$ para cada

k_{1} + \dots + k_{\sqrt{n}} \leq n

$k_1 + \ldots + k_{\sqrt{n}} \le n$ . Você pode usar

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$ CNF de tamanho para todas as funções de limite. Mas, no lado direito, você não terá DNF, mas uma fórmula de profundidade 3 ...

— Sasha Kozachinskiy