Idiomas que não podemos (des) provar ser livres de contexto

Estou procurando idiomas que "provavelmente não são livres de contexto", mas não podemos (des) provar isso usando técnicas padrão conhecidas.

Existe uma pesquisa recente sobre o assunto ou uma seção de problemas abertos de uma conferência recente?

Provavelmente, não existem muitos idiomas que não são conhecidos por CF, portanto, se você conhece um, também pode publicá-lo como resposta.

Os exemplos que encontrei são:

• a linguagem bem conhecida das palavras primitivas $Q = \{ w \mid w \neq u^i (|u| > 1) \}$ (há todo um belo livro recente sobre ele: idiomas sem contexto e palavras primitivas )
• as representações Base-k do co-domínio de um polinômio (veja a pergunta " Representações Base-k do co-domínio de um polinômio - é livre de contexto? " na história, que talvez tenha sido resolvida pelo domotorp, veja sua pré-impressão )

Nota : como mostrado por Aryeh em sua resposta, você pode construir toda uma classe de tais idiomas se "vincular" um idioma a uma conjectura desconhecida sobre a (não) finitude ou (não) vazio de alguns conjuntos (por exemplo, $L_{Goldbach} = \{ 1^{2n} \mid 2n$ não pode ser expresso como uma soma de dois números primos $\}$ ). Não estou muito interessado nesses exemplos.

Outra boa é o complemento do conjunto $S$ de subpalavras contíguas (também conhecidas como "fatores") da sequência de Thue-Morse ${\bf t} = 0110100110010110 \cdots$ . Para dar algum contexto, Jean Berstel provou que o complemento do conjunto $T$ de prefixos da palavra Thue-Morse é livre de contexto (e na verdade algo mais geral que isso). Mas o resultado correspondente para subpalavras ainda está aberto.

E a linguagem $L_{TP}$ dos primos gêmeos? Ou seja, todos os pares de números naturais $(p,p')$ (representados, digamos, em unários), de modo que $p,p'$ sejam primos e $p'=p+2$ ? Se a conjectura de primos gêmeos for verdadeira, então $L_{TP}$ não é livre de contexto; caso contrário, é finito.

Edit: Deixe-me dar um esboço de prova rápida de que a conjectura dos primos gêmeos implica que $L_{TP}$ não seja livre de contexto. Associado a qualquer linguagem $L$ sua seqüência de comprimento $0\le a_1\le a_2\le\ldots$ , onde o inteiro $\ell$ aparece na sequência sse há uma palavra de comprimento $\ell$ em $L$ . É uma conseqüência do (s) lema (s) de bombeamento que, para $L$ regulares ou CFL, a sequência de comprimento satisfaz a propriedade de diferenças limitadas: existe um $R>0$ tal que $a_{n+1}-a_n\le R$para todos os$n$. É um fato fácil e bem conhecido na teoria dos números que os primos não têm diferenças limitadas. Finalmente, qualquer subsequência infinita de uma sequência que viole a propriedade de diferenças limitadas em si deve violá-la.