Quais problemas de SAT são fáceis?

O que são "regiões fáceis" para garantir a satisfação? Em outras palavras, condições suficientes para que algum solucionador SAT seja capaz de encontrar uma tarefa satisfatória, assumindo que ela exista.

Um exemplo é quando cada cláusula compartilha variáveis ​​com poucas outras cláusulas, devido à prova construtiva da LLL, outros resultados nesse sentido?

Há literatura considerável sobre regiões fáceis para a Propagação de Crenças, existe algo nesse sentido para satisfação?

Eu acho que você conhece o resultado clássico de Schaefer do STOC'78, mas por precaução.

10.1145 / 800133.804350

Schaefer provou que, se o SAT é parametrizado por um conjunto de relações permitido em qualquer instância, existem apenas 6 casos tratáveis: 2-SAT (ou seja, todas as cláusulas são binárias), Horn-SAT, dual-Horn-SAT, affine-SAT ( soluções para equações lineares em GF (2)), 0-válido (relações satisfeitas pela atribuição all-0) e 1-válido (relações satisfeitas pela atribuição all-1).

Não tenho certeza se é isso que você está procurando, mas há uma literatura considerável sobre a transição de fase 3-SAT.

Monasson, Zecchina, Kirkpatrcik, Selman e Troyansky tiveram um artigo na natureza que fala sobre a transição de fase do k-SAT aleatório. Eles usaram uma parametrização da razão de cláusulas para variáveis. Para o 3-SAT aleatório, eles descobriram numericamente que o ponto de transição está em torno de 4,3. Acima deste ponto, as instâncias aleatórias de 3-SAT são excessivamente restritas e quase certamente insatificáveis ​​e, abaixo deste ponto, os problemas são restritos e satisfatórios (com alta probabilidade). Mertens, Mezard e Zecchina usam procedimentos de método de cavidade para estimar o ponto de transição de fase com maior precisão.

Longe do ponto crítico, os algoritmos "burros" funcionam bem para instâncias satisfatórias (caminhada, etc.). Pelo que entendi, o tempo de execução determinista do solucionador cresce exponencialmente na transição de fase ou próximo a ela (veja aqui mais para uma discussão?).

Braunstein, Mezard e Zecchina, primo próximo da propagação de crenças, introduziram a propagação de pesquisas que são relatadas para resolver instâncias 3-SAT satisfatórias em milhões de variáveis, mesmo extremamente próximas à transição de fase. Mezard fez uma palestra aqui sobre binóculos (cuja teoria ele usou na análise de transições de fase NP-Completas aleatórias) e Maneva fez uma palestra aqui sobre propagação de pesquisas.

Por outra direção, ainda parece que nossos melhores solucionadores levam um tempo exponencial para provar a insatisfação. Veja aqui , aqui e aqui para provas / discussão da natureza exponencial de alguns métodos comuns para provar a insatisfação (procedimentos de Davis-Putnam e métodos de resolução).

É preciso ter muito cuidado com as alegações de 'facilidade' ou 'dureza' para problemas aleatórios de NP-Complete. A exibição de um problema NP-Complete em uma transição de fase não dá garantia de onde estão os problemas difíceis ou se existem. Por exemplo, o problema do ciclo Hamiltoniain nos gráficos aleatórios Erdos-Renyi é comprovadamente fácil, mesmo no ponto de transição crítico ou próximo a ele. O Problema da Partição Numérica não parece ter algoritmos que o resolvam bem na faixa de probabilidade 1 ou 0, muito menos perto do limite crítico. Pelo que entendi, problemas aleatórios de 3-SAT têm algoritmos que funcionam bem para instâncias satisfatórias quase iguais ou abaixo do limite crítico (propagação da pesquisa, caminhada, etc.), mas nenhum algoritmo eficiente acima do limite crítico para provar a insatisfação.

Existem muitas condições suficientes. Em certo sentido, grande parte do CS teórico foi dedicado à coleta dessas condições - rastreabilidade de parâmetros fixos, 2-SAT, 3-SAT aleatório de diferentes densidades, etc.

até agora, não há muito reconhecimento amplo desse conceito na literatura, mas o gráfico de cláusulas do problema SAT (o gráfico com um nó por cláusula e os nós estão conectados se as cláusulas compartilharem variáveis), bem como outros gráficos relacionados da representação do SAT, parece ter muitas pistas básicas sobre o quão difícil a instância será, em média.

o gráfico da cláusula pode ser analisado através de todos os tipos de algoritmos teóricos dos grafos, é uma medida aparentemente natural da "estrutura" e com fortes conexões para medir / estimar a dureza, e parece que a pesquisa nessa estrutura e suas implicações ainda é muito precoce estágios. não é inconcebível que a pesquisa de pontos de transição, a maneira tradicional e bem estudada de abordar essa questão, possa eventualmente ser conectada a essa estrutura de gráfico de cláusulas (até certo ponto, ela já possui). em outras palavras, o ponto de transição no SAT pode existir "por causa" da estrutura do gráfico de cláusulas.

aqui está uma excelente referência nesse sentido, uma tese de doutorado de Herwig, e muitas outras.

[1] Decompondo problemas de satisfação ou Usando gráficos para obter uma melhor compreensão dos problemas de satisfação , Herwig 2006 (83pp)

É fácil mover todas as instâncias perto do ponto de "transição" para o mais longe possível do ponto de "transição". O movimento envolve um esforço polinomial de tempo / espaço.

Se instâncias distantes do ponto de "transição" são mais fáceis de resolver, as que estão próximas ao ponto de transição devem ser igualmente fáceis de resolver. (Transformações polinomiais e tudo.)

$\kappa$

ele encontra uma aparente estrutura de auto-similaridade fractal de instâncias difíceis com o parâmetro de restrição, de modo que, como um solucionador de DP (LL) durante a pesquisa, tende a encontrar subproblemas com a mesma restrição crítica, independentemente da variável escolhida ao lado da ramificação. há algumas análises adicionais da estrutura fractal em instâncias SAT (como a dimensão Hausdorff das fórmulas SAT e a conexão à dureza) em, por exemplo, [2,3]

Outra linha de investigação um tanto inter-relacionada aqui é a relação de pequenos gráficos mundiais com a estrutura SAT (rígida), por exemplo [4,5]

$\stackrel{?}{=}$

[1] O fio da faca de constrangimento de Toby Walsh 1998

[2] AUTO-SIMILARIDADE DE EXPRESSÕES BOOLEANAS SATISFEITÁVEIS DECIFERIDAS EM TERMOS DE SISTEMAS DE FUNÇÕES ITERADAS DIRECIONADAS POR GRÁFICO, por Ni e Wen.

[3] Visualização da estrutura interna das instâncias SAT (relatório preliminar) Sinz

[4] Pesquisa em um mundo pequeno por Walsh 1999

[5] Modelando problemas SAT mais realistas por Slater 2002