Problema técnico com a prova do teorema do PCP

Estou lendo a prova daqui e me deparei com um problema técnico (ainda que crucial). Eu sei que isso é bastante específico e o contexto é problemático, mas eu não consegui descobrir isso sozinho.

Nas páginas 51 e 55, depois de apresentar os verificadores "padrão", eles se voltam para modificar os verificadores para verificar as atribuições divididas.

No primeiro caso (p. 51), eles verificam se $f_1,\dots,f_k$ são $0.01$ próximos ao código polinomial e depois usam a Algebraization (+ Zero-Testers) para construir uma família de polinômios (com uma Soma -verificar propriedade relacionada com a fórmula de entrada) que cada um deles pode ser avaliada em um ponto determinado 3 valores de cada um dos $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ (as palavras de código do código de polinómio armário para $f_1,\dots,f_k$ ).

No segundo caso (p. 55) que verificam que $f_1,\dots,f_k$ são $0.01$ -close para ser linear, e, em seguida, elas definem uma função $f$ a ser uma soma especial de $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ tal que $f$ pode ser avaliada em um ponto dado valores de cada um dos $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ (as funções lineares armário para $f_1,\dots,f_k$ ).

Em ambos os casos, eles realizam testes (Sum-Check ou Tensor + Hadamard) nos valores de um polinômio aleatório na família / $\widetilde{f}$ .

Meu problema é que o processo de reconstrução dos valores requeridos de cada um $\widetilde{f}_i$ pode fornecer valores incorretos com alguma probabilidade constante não negligenciável . Além disso, a probabilidade de que todos os valores sejam reconstruídos corretamente é muito baixa, apenas $c^k$ para alguma constante $c$ . E isso é verdade para os dois casos.

Isso pode ser ruim como alguns dos passos dos verificadores necessitam para obter os valores da função de destino $f$ / um polinômio do whp família

Portanto, precisamos ampliar a probabilidade de sucesso usando repetidamente o "procedimento algébrico de reconstrução" alguns tempos $O(\log k)$ para cada $\widetilde{f}_i$ .

Agora, isso significa que o aumento na complexidade da consulta da sub-rotina (relativamente à complexidade da consulta dos verificadores originais) é um pouco maior que $k$ , ou seja, é $O(k\log k)$ (em contraste com o " garantido "-" desejado " $O(k)$ explosão na declaração dos teoremas).

Isso é um problema ou estou faltando alguma coisa (que provavelmente estou)?

A complexidade da consulta usada neste artigo é $O(1)$$O(poly(logn))$

$O(1)$

$O(poly(f(n)))$

$O(1)$