Na conjectura de sensibilidade?

O recente estabelecimento da relação $bs(f)=O(s(f)^4)$ passa por Gotsman, Linial .

A mesma abordagem pode chegar a $O(s(f)^2)$ ou existe uma limitação essencial à abordagem?

cc.complexity-theory boolean-functions

— T ....
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Isso é discutido nas observações finais do artigo de Hao Huang (sob o terceiro item). Huang escreve: "Talvez alguém possa fechar essa lacuna aplicando diretamente o método espectral a funções booleanas, em vez de hipercubos".

— 31419 Gamow

\begin{matrix} (1) & \forall f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}, s (f) \geq \sqrt{\deg f} \end{matrix}

$\forall f\colon\{0,1\}^n \to \{0,1\}, \qquad s(f) \geq \sqrt{\deg f} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & \forall f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}, \deg f \geq \sqrt{\frac{1}{2} bs f} \end{matrix}

$\forall f\colon\{0,1\}^n \to \{0,1\}, \qquad \deg f \geq \sqrt{\frac{1}{2}\operatorname{bs} f} \tag{2}$

bs f ≳ (\deg f)^{\log_{3} 6}

$\operatorname{bs} f \gtrsim (\deg f)^{\log_3 6}$

\log_{3} 6 \approx 1.63

$\log_3 6 \approx 1.63$

Por outro lado, é possível que o uso de técnicas semelhantes (ou seja, entrelaçamento de autovalores de matrizes assinadas), mas em objetos diferentes (em primeiro lugar, sem usar o grau como proxy) possa levar a limites mais nítidos. Isso é explicitamente declarado como questão em aberto no artigo de Huang [4]:

Talvez alguém possa fechar essa lacuna [quadrática versus quártica] aplicando diretamente o método espectral a funções booleanas, em vez de hipercubos.

[1] Noam Nisan e Mario Szegedy. No grau de funções booleanas como polinômios reais . Comput. Complexity, 4: 462–467, 1992. doi: 10.1007 / BF01263419

[2] Pooya Hatami, Raghav Kulkarni e Denis Pankratov, variações na conjectura de sensibilidade. Pesquisa de pós-graduação em teoria da computação, 2011. https://theoryofcomputing.org/articles/gs004/

[3] Noam Nisan e Avi Wigderson. Na classificação versus complexidade da comunicação . Combinatorica, 15: 557-565, 1995. doi: 10.1007 / BF01192527

[4] Hao Huang. Subgráficos induzidos de hipercubos e uma prova da conjectura de sensibilidade. arXiv: 1907.00847, 2019. https://arxiv.org/abs/1907.00847

— Clemente C.
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