Por que a conjectura gananciosa é tão difícil?


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Recentemente, aprendi sobre a conjectura gananciosa do menor problema das supercordas .

Nesse problema, recebemos um conjunto de seqüências de caracteres e queremos encontrar as menores supercordas ou seja, tais que cada apareça como uma subcadeia de .s1,...,sn ssEus

Esse problema é difícil para NP e, após uma longa sequência de trabalhos, o algoritmo de aproximação mais conhecido para esse problema possui uma proporção [Paluch '14].2+1130

Na prática, os biólogos usam o seguinte algoritmo Greedy:

Em cada etapa, mescle duas cadeias que tenham sobreposição máxima em todos os pares (o sufixo máximo que é o prefixo de outra cadeia) e repita nesta nova instância até que exista apenas uma cadeia (que é uma supercadeia de todas as cadeias de entrada) )

Um limite inferior de na razão de aproximação deste algoritmo ganancioso pode ser obtido a partir da entrada .2c(umab)k,(buma)k,(umab)kc

Curiosamente, foi conjeturado que este é o pior exemplo, ou seja, que Greedy alcança uma aproximação para o menor problema de supercorda. Fiquei muito surpreso ao ver que um algoritmo tão natural e fácil é tão difícil de analisar.2

Existem intuições, fatos, observações, exemplos que sugerem por que essa pergunta é tão desafiadora?


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Uma das razões pode ser que as propriedades conhecidas das representações gráficas padrão do problema (como as desigualdades de Monge e Tríplice) não sejam comprovadamente suficientes para uma prova da conjectura gananciosa. Veja, por exemplo, Laube, Weinard "Desigualdades condicionais e o menor problema comum de supercordas" e Weinard, Schnitger "Sobre a conjectura gananciosa de supercordas".
Alex Golovnev 1/10/19

@AlexGolovnev: Parece uma resposta perfeitamente boa para mim!
Joshua Grochow 5/10/19

@JoshuaGrochow: Obrigado! Agora vou estendê-lo a uma resposta.
Alex Golovnev 7/10/19

Respostas:


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Deixe-me primeiro tentar resumir o que se sabe sobre a conjectura gananciosa.

  1. Blum, Jiang, Li, Tromp, Yannakakis provam que o algoritmo ganancioso fornece uma aproximação de 4, e Kaplan e Shafrir mostram que ele fornece uma aproximação de 3,5 para o menor problema de supercorda comum.
  2. Sabe-se que uma versão do algoritmo ganancioso fornece uma aproximação 3 ( Blum, Jiang, Li, Tromp, Yannakakis ).
  3. A conjectura gananciosa é válida quando todas as cordas de entrada têm comprimento máximo de ( Tarhio, Ukkonen ; Cazaux, Rivals ) ou ( Kulikov, Savinov, Sluzhaev ).34
  4. A conjectura gananciosa se aplica se o algoritmo ganancioso mesclar seqüências de caracteres em alguma ordem específica ( Weinard, Schnitger ; Laube, Weinard ).
  5. O algoritmo ganancioso fornece uma aproximação 2 da compressão Tarhio, Ukkonen (que é definida como o comprimento total das cadeias de entrada menos o comprimento da menor superestrela comum).
  6. Existe uma implementação extremamente eficiente do algoritmo ganancioso Ukkonen .

Penso que uma das razões pelas quais é difícil provar a conjectura gananciosa pode ser a seguinte. A maioria das abordagens para provar as garantias de aproximação do algoritmo Greedy analisa o gráfico de sobreposição (ou, equivalentemente, o gráfico de prefixos) do conjunto de strings de entrada. Conhecemos apenas algumas propriedades desses gráficos (como as desigualdades de Monge e Triplo), mas essas propriedades provavelmente não são suficientes para provar a conjectura gananciosa ( Weinard, Schnitger ; Laube, Weinard ).

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