Qual é a complexidade do Median-SAT?

Seja uma fórmula CNF com variáveis ​​e cláusulas . Deixe representar uma atribuição de variável conte o número de cláusulas satisfeitas por uma atribuição de variável para . Em seguida, defina Median-SAT como o problema de calcular o valor mediano de em todo . Por exemplo, se é uma tautologia, a solução para Median-SAT será pois, independentemente da atribuição, todas as cláusulas serão atendidas. No entanto, no caso den m t ∈ { 0 , 1 } n f φ ( t ) ∈ { 0 , … , m } φ f φ ( t ) t ∈ { 0 , 1 } n φ m ¯ S A $\varphi$$n$$m$$t \in \{ 0,1 \}^n$$f_{\varphi}(t) \in \{ 0, \ldots , m \}$$\varphi$$f_{\varphi}(t)$$t \in \{ 0,1 \}^n$$\varphi$$m$$\overline{SAT}$a solução para o Median-SAT pode estar em qualquer lugar entre e .m - $0$$m-1$

Essa pergunta surgiu quando eu estava pensando em duas extensões naturais do SAT, MAX-SAT e #SAT, e qual seria a dificuldade do problema resultante se elas fossem reunidas. Para MAX-SAT, precisamos encontrar uma atribuição de variável específica para maximizar o número de variáveis ​​satisfeitas por . Para #SAT temos que contar quantas atribuições satisfazer todas as cláusulas de . Essa variante acaba principalmente como uma extensão do #SAT (e de fato do #WSAT ), mas mantém um pouco do sabor do MAX-SAT, pois contamos o número de cláusulas satisfeitas em vez de apenas decidir se elas estão satisfeitas ou não.m $\varphi$$m$$\varphi$

Esse problema parece mais difícil que #SAT ou #WSAT. Para cada atribuição de variável #SAT decide o problema booleano de saber se essa atribuição satisfaz ou não, enquanto o Median-SAT determina "até que ponto" é satisfeito em termos do número de cláusulas que uma atribuição satisfaz.$\varphi$$\varphi$

Percebo que esse problema é um tanto arbitrário; calcular o número médio ou modo de cláusulas atendidas por cada atribuição de variável parece capturar a mesma qualidade. Provavelmente muitos outros problemas também.

Esse problema foi estudado, talvez sob um pretexto diferente? Quão difícil é comparado ao #SAT? Não está claro para mim a priori que o Median-SAT esteja contido no FPSPACE, embora pareça estar contido no FEXPTIME.

Dada uma instância de SAT, um número inteiro e uma atribuição de variável, podemos decidir em tempo polinomial se exatamente k cláusulas são satisfeitas, simplesmente contando o número de cláusulas que são satisfeitas e testando se esse número é igual a k . Portanto, podemos calcular o número total de atribuições de variáveis ​​que satisfazem exatamente k cláusulas usando um oracle #P .$k$$k$$k$$k$

Assim como o Max-SAT, o Median-SAT pode ser calculado em tempo polinomial usando um oráculo Isto mostra que o problema é em F P # P ⊆ F P S P A C E .$\#P$$FP^{\#P} \subseteq FPSPACE$

Este problema pode ser resolvido usando de um oráculo para o MAJSAT.$\lceil \lg m+1 \rceil$

Seja o valor médio desejado para φ . Para k fixo , defina a fórmula ψ k, para que seja verdadeira para a atribuição x se s x satisfizer pelo menos k das cláusulas de φ . Observe que, dado φ na forma CNF e dado k , você pode facilmente construir ψ k na forma CNF em tempo polinomial.$M(\varphi)$$\varphi$$k$$\psi_k$$x$$x$$k$$\varphi$$\varphi$$k$$\psi_k$

Agora, suponha que tivéssemos um oráculo para o MAJSAT. Consultando-lo na fórmula iria nos dizer se a maioria das atribuições fazer a fórmula ψ k verdade, ou equivalentemente, se M ( φ ) ≥ k . Portanto, para aprender M ( φ ) , aplique a pesquisa binária (comece com k = m / 2 e depois aumente ou diminua k de acordo com os resultados do oráculo). Após iterações lg m + 1 , a pesquisa binária revela o valor de M ( φ $\psi_k$$\psi_k$$M(\varphi) \ge k$$M(\varphi)$$k=m/2$$k$$\lg m+1$$M(\varphi)$. Cada iteração requer uma consulta ao nosso oracle para MAJSAT.