P com oráculo de fatoração inteira

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Acabei de ler a pergunta " A fatoração inteira é um problema NP-completo? " ... então decidi gastar parte da minha reputação :-) fazendo outra pergunta com : $Q$ $P(\text{Q is trivial}) \approx 1$

Se é um oráculo que resolve inteiro fatoração, o que é o poder da ? $A$ $P^A$

Eu acho que isso torna a criptografia de chave pública baseada em RSA insegura ... mas, além disso, existem outros resultados notáveis?

cc.complexity-theory oracles factoring

— Marzio De Biasi
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@ Essa parte P(Q is trivial)=1é uma piada, não é?

— Pratik Deoghare

Essa questão sugere uma questão relacionada e (talvez) mais natural: se R é um oráculo que retorna f _ (_ M , n ) como o tempo de execução máximo de uma máquina de Turing de tempo polinomial M sobre todas as entradas de comprimento n , qual é o poder de P ^ R?

— John Sidles

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@Vor: Isso não é o mesmo que perguntar "Quais problemas podem ser polinomiais em tempo de Turing reduzir a fatoração inteira?" Ou você pretendeu perguntar outra coisa?

— Joshua Grochow

Sou novato, então minha pergunta é quase uma curiosidade. Tudo começou com um simples pensamento: fora "no mundo real", vejo muitos problemas NP-completos (um carteiro tentando reservar suas forças, uma família que está se movendo e quer colocar seus móveis em um caminhão, ...: - ))). Mas não vejo "problemas de fatoração" ... embora PODEM ser mais simples (entre P e NPC). ... talvez odeia reality multiplicações :-D :-D

— Marzio De Biasi

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Veja também Consequências do fatoramento em P?

— Jukka Suomela

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Não tenho uma resposta para sua pergunta, mas sei que uma noção semelhante foi estudada muito recentemente, sob o nome de "segurança baseada em anjo".

O primeiro artigo que estuda esse conceito é Prabhakaran & Sahai (STOC '04) . Em particular, eles escreveram no resumo:

[...] damos ao adversário acesso a algum poder computacional super-polinomial.

Outro artigo importante que discute essa noção é o de Canetti, Lin, & Pass (FOCS 2010) . Eu assisti algumas partes da apresentação da conferência (em techtalks ) e, se bem me lembro, elas começam com um exemplo semelhante ao que você mencionou na pergunta.

— MS Dousti
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Obviamente, qualquer problema de decisão que possa ser reduzido a fatoração pode ser resolvido com um oráculo de fatoração. Mas como temos a capacidade de fazer várias consultas, tentei pensar em um problema não trivial para o qual alguém desejaria fazer várias consultas.

O problema de calcular a função totiente de Euler parece ser um problema. Não sei como resolver a versão de decisão desse problema com uma redução de Karp na versão de decisão do fatoramento. Mas com as reduções de Turing, é fácil reduzir isso ao fatoramento.

— Robin Kothari
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Aqui está um post relacionado no MO sobre a complexidade da computação da função totiente.

— Hsien-Chih Chang,

Pequena adição: também há reduções de tempo polinomiais na outra direção, calculando a função Totient de Euler -> Factoring. Não verifiquei se as reduções conhecidas funcionam para a versão de decisão desses problemas. Ainda assim, poder calcular a função Totient (ou mesmo um múltiplo fixo) permite a fatoração. O livro de Shoup dedica um capítulo a isso.

— Juan Bermejo Vega

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Elaborando sobre resposta anterior Joe: nota que . O último é o segundo mais baixo na classe "baixo" hierarquia : o que quer dizer que . Isto implica, em particular, que Podemos fazer observações semelhantes para e $\textrm{FACTORING} \in \mathsf{NP \cap coNP}$ $\mathsf{NP^{NP \cap coNP} = NP}$

P^{FACTORING} \subseteq N P^{FACTORING} \subseteq N P .

$\mathsf{P^{\textrm{FACTORING}} \subseteq NP^{\textrm{FACTORING}}} \subseteq \mathsf{NP}.$

c o N P

$\mathsf{coNP}$

B Q P

$\mathsf{BQP}$ , Para demonstrar que, pelo menos, a um nível de grão grosseiro,

tem os mesmos limites de complexidade como o problema

em si, o que quer dizer

P^{FACTORING}

$\mathsf P^{\textrm{FACTORING}}$

FACTORING

$\textrm{FACTORING}$

P^{FACTORING} \subseteq N P \cap c o N P \cap B Q P .

$\mathsf{P^{\textrm{FACTORING}} \subseteq NP \cap coNP \cap BQP}.$

— Niel de Beaudrap
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N P \cap c o N P

$NP \cap coNP$

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U P \cap c o U P

$\mathsf{UP} \cap \mathsf{coUP}$

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$P^A\subseteq \Delta_2^P$

— Marcus Ritt
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$\mbox{FNP}$ $P \subseteq P^A \subseteq \Delta_2^p$ $P^{NP}$ $\mbox{BQP}$ $P \subseteq P^A \subseteq P^{NP \cap BQP}$

— Joe Fitzsimons
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