Complexidade da conversão de um circuito booleano em uma fórmula booleana

Dado um circuito booleano em variáveis (que usa apenas portas NOT, AND e OR), qual é a maneira mais eficiente de extrair a fórmula booleana representada pelo circuito? Existe um algoritmo polytime para esse problema? $C$ $n$

cc.complexity-theory time-complexity boolean-functions

— Nikhil
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que tipo de portas o circuito possui?

— Lev Reyzin

Quais restrições à entrada ou saída de fãs? Se é apenas um fan-out, então é trivial: o circuito em si é essencialmente um AST para a fórmula.

— Re: Mark Reitblatt

Fan-in limitado para ser geral. Mas, para ser mais preciso, digamos que AND e OR tenham fan-in 2. Em muitas referências na literatura, acho que um circuito e fórmulas são usados de forma intercambiável, mas quero saber se é fácil converter um circuito em uma fórmula. problema.

— Nikhil 11/02

Em geral, você esperaria que qualquer fórmula equivalente pudesse ter tamanho exponencial, mesmo para um pequeno circuito.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

As fórmulas de tamanho polinomial são equivalentes aos circuitos . Os circuitos de polisização ( ) não são equivalentes a . As fórmulas e circuitos são usados de maneira intercambiável geralmente quando a profundidade do circuito é limitada.

N C^{1}

$NC^1$

P / p o l y

$P/poly$

N C^{1}

$NC^1$

— Kaveh

Se eu entendi sua pergunta corretamente, eu diria que você poderia usar a redução padrão de CIRCUIT-SAT para SAT: represente cada porta como uma nova variável e, em seguida, represente todo o circuito no formato CNF, com cada cláusula no formato , em que é a nova variável, e a fórmula para o portão é fornecida por , usando as variáveis para outros portões para representar as entradas. Isso pode ser feito por uma travessia simples (em tempo linear, o que é claramente ideal). $(v\leftrightarrow\phi)$ $v$ $\phi$

Por exemplo, se você possuir três entradas, , e , com portas AND vinculando e , bem como e , e uma porta OR conectando suas saídas, poderá introduzir três variáveis para representar as portas - , e , respectivamente - e reescreva a fórmula paraObserve que a variável de saída está incluída explicitamente. $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_1$ $x_2$ $x_2$ $x_3$ $v_1$ $v_2$ $v_3$

(v_{1} \leftrightarrow (x_{1} \land x_{2})) \land (v_{2} \leftrightarrow (x_{2} \land x_{3})) \land (v_{3} \leftrightarrow (v_{1} \lor v_{2})) \land v_{3} .

$(v_1\leftrightarrow(x_1\land x_2))\land (v_2\leftrightarrow(x_2\land x_3))\land (v_3\leftrightarrow(v_1\lor v_2))\land v_3\,.$

Introdução aos Algoritmos por Cormen et al. explica isso em detalhes, no capítulo NP-Completeness.

— Magnus Lie Hetland
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O CIRCUIT-SAT não usa portas 1 fan-out?

— Re: Reitblatt

Claro - mas, tanto quanto posso ver, isso não afeta a redução / transformação. A idéia de representar cada saída como uma nova variável significa que você pode reutilizar cada saída como uma entrada várias vezes (correspondente a uma saída arbitrariamente grande). Em outras palavras, a solução dada nesta resposta deve funcionar para circuitos arbitrários.

— Magnus Lie Hetland

Meu palpite seria que não é isso que está sendo pedido. Eu acho que o que se quer é fazer uma fórmula no mesmo conjunto de variáveis que o circuito.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Hum. Sim, você provavelmente está certo. A introdução das novas variáveis faz sentido no caso CIRCUIT-SAT para CNF-SAT, mas não em um cenário mais geral - eu concordo.

— Magnus Lie Hetland

C

$C$

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$

ϕ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

$\phi(x_1, x_2, \ldots, x_n)$