Existe alguma conexão entre a norma do diamante e a distância dos estados associados?

Na teoria da informação quântica, a distância entre dois canais quânticos é frequentemente medida usando a norma do diamante. Também existem várias maneiras de medir a distância entre dois estados quânticos, como a distância do traço, a fidelidade, etc. O isomorfismo de Jamiołkowski fornece uma dualidade entre canais quânticos e estados quânticos.

Isso é interessante, pelo menos para mim, porque a norma do diamante é notoriamente difícil de calcular, e o isomorfismo de Jamiołkowski parece implicar alguma correlação entre medidas de distância de canais quânticos e estados quânticos. Então, minha pergunta é a seguinte: Existe alguma relação conhecida entre a distância na norma do diamante e a distância entre os estados associados (em alguma medida)?

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— Joe Fitzsimons
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Não sei ao certo o que você quer dizer com “a norma de diamante é notoriamente difícil de calcular”. Se você receber um canal quântico como uma matriz explícita (digamos da sua representação de Choi-Jamiołkowski), o quadrado da sua norma de diamante pode ser formulado como um programa semidefinido; veja a Seção 20.4 da nota de aula de John Watrous . Nesse sentido, a norma do diamante tem um meio eficiente de calcular.

— Tsuyoshi Ito 12/02

@ Tsuyoshi: Eu estava apenas me referindo à otimização implícita. Eu não quis dizer computacionalmente difícil, mas bastante complicado de trabalhar.

— Joe Fitzsimons

Estas são notas de aula muito boas, como um aparte.

— Suresh Venkat

@Suresh @Tsuyoshi: Sim, são ótimas notas, mas acho que não respondem a essa pergunta em particular.

— Joe Fitzsimons

@TsuyoshiIto: por algum motivo, a última seção dos slides do QIP é 20.3, você tem um conjunto de palestras mais completas?

— Artem Oboturov

Respostas:

Para um canal quântico , vamos escrever para indicar o estado associado: Aqui estamos supondo que o canal mapeia (ie, matrizes complexas) para para qualquer escolha de inteiros positivos e que você gosta. A matriz às vezes é chamada de matriz Choi ou representação Choi-Jamiolkowski de , mas é mais frequente que esses termos sejam usados quando a normalização é omitida. $\Phi$ $J(\Phi)$

J (Φ) = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} Φ (| i ⟩ ⟨ j |) \otimes | i ⟩ ⟨ j | .

$J(\Phi) = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} \Phi(|i \rangle \langle j|) \otimes |i \rangle \langle j|.$

M_{n} (C)

$M_n(\mathbb{C})$

n \times n

$n\times n$

M_{m} (C)

$M_m(\mathbb{C})$

n

$n$

m

$m$

J (Φ)

$J(\Phi)$

Φ

$\Phi$

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

Agora, suponha que e sejam canais quânticos. Podemos definir a "distância da norma do diamante" entre eles como que indica o canal de identidade de para si mesmo, denota a norma de rastreamento e o supremo é assumido por todas as e todas as matrizes de densidade escolhidas entre . O supremo sempre é alcançado para alguma escolha de $\Phi_0$ $\Phi_1$

‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} = sup_{ρ} ‖ (Φ_{0} \otimes {Id}_{k}) (ρ) - (Φ_{1} \otimes {Id}_{k}) (ρ) ‖_{1}

$\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = \sup_{\rho} \: \| (\Phi_0 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) - (\Phi_1 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) \|_1$

{Id}_{k}

$\operatorname{Id}_k$

M_{k} (C)

$M_k(\mathbb{C})$

‖ \cdot ‖_{1}

$\| \cdot \|_1$

k \geq 1

$k \geq 1$

ρ

$\rho$

M_{n k} (C) = M_{n} (C) \otimes M_{k} (C)

$M_{nk}(\mathbb{C}) = M_n(\mathbb{C}) \otimes M_{k}(\mathbb{C})$

k \leq n

$k\leq n$ e alguma matriz de densidade de classificação 1 .

ρ

$\rho$

(Observe que a definição acima não funciona para mapeamentos arbitrários, somente aqueles no formato para mapas completamente positivos e . Para mapeamentos gerais, o supremo é ocupado por todas as matrizes com norma de rastreamento 1, em vez de apenas matrizes de densidade.) $\Phi = \Phi_0 - \Phi_1$ $\Phi_0$ $\Phi_1$

Se você não tem nenhuma suposição adicional nos canais, não pode dizer muito sobre como essas normas se relacionam além desses limites grosseiros: Para a segunda desigualdade, está-se essencialmente decidindo pela escolha específica ao invés de tomar o supremo sobre tudo

\frac{1}{n} ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} \leq ‖ J (Φ_{0}) - J (Φ_{1}) ‖_{1} \leq ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} .

$\frac{1}{n} \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} \leq \| J(\Phi_0) - J(\Phi_1) \|_1 \leq \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond}.$

ρ = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |

$\rho = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} |i \rangle \langle j| \otimes |i \rangle \langle j|$

ρ

$\rho$ . A primeira desigualdade é uma oferta mais difícil, mas seria uma questão de atribuição razoável para um curso de pós-graduação em informações quânticas. (Nesse ponto, devo agradecer sua pergunta, porque pretendo utilizá-la totalmente na oferta de outono do meu curso de teoria da informação quântica.)

Você pode obter uma das desigualdades para uma escolha apropriada dos canais e , mesmo sob a suposição adicional de que os canais são perfeitamente distinguíveis (significando ). $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = 2$

— John Watrous
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Obrigado John, que responde perfeitamente à minha pergunta e me salvou muito tempo.

— Joe Fitzsimons

Você também pode procurar em Medidas de distância para comparar processos quânticos reais e ideais arXiv: quant-ph / 0408063, que fornece uma visão geral das medidas de distância para canais quânticos e seus relacionamentos.

Eles usam o termo distância S para a distância do diamante e distância J para a distância do traço dos operadores Jamiołkowski associados aos canais.

— Antonio Valério Miceli-Barone
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Gosto de pensar na primeira desigualdade que Watrous escreveu em termos de teletransporte probabilístico de canais. Se você interpretar a norma de diamante como uma medida da menor probabilidade de erro em discriminar os canais e , e a norma de rastreamento como o equivalente para seus estados de Jamiolkowski, sempre poderá implementar a estratégia ideal para os canais de seus estados correspondentes com probabilidade de sucesso. Colocar isso rigorosamente pode ser uma maneira de provar a desigualdade. $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\frac{1}n$

Além disso, esse modo de pensar mostra que, se os canais podem ser teletransportados de forma determinística (como os canais de Pauli), sua norma de diamante é igual à distância do traço de Jamiolkowski.

— Alex Monras
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