Alfabeto da máquina de Turing de fita única

Todas as funções computáveis no tempo em uma máquina de Turing de fita única usando um alfabeto do tamanho ser computadas no tempo em uma fita única máquina de Turing usando um alfabeto de tamanho (por exemplo, e em branco)? $f : \{0,1\}^* \to \{0,1\}$ $t$ $k = O(1)$ $O(t)$ $3$ $0,1,$

(Dos comentários abaixo do OP) Observe que a entrada é escrita usando , mas a máquina de Turing usando o alfabeto do tamanho pode substituir os símbolos de entrada pelos símbolos do alfabeto maior. Não vejo como codificar símbolos no alfabeto maior no alfabeto menor sem precisar mudar a entrada, o que custaria o tempo . $0,1$ $k$ $n^2$

computability turing-machines

— Manu
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Observe que a entrada é escrita usando

, mas a máquina de Turing usando o alfabeto de tamanho

pode substituir os símbolos de entrada por símbolos do alfabeto maior. Não vejo como codificar símbolos no alfabeto maior no alfabeto menor sem precisar mudar a entrada, o que custaria o tempo

0, 1

$0,1$

k

$k$

n^{2}

$n^2$

— Manu

@ Emanuele: Você deve editar a pergunta e enfatizar esse aspecto; caso contrário, soa exatamente como um exercício manual padrão ...

— Jukka Suomela

@ Tsuyoshi, acho que você não entendeu a pergunta.

— Suresh Venkat

@Jukka: Em uma máquina de Turing com uma fita, tudo o que pode ser calculado no tempo

é de fato linguagens regulares.

o (n \log n)

$o(n \log n)$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

@Abel: O resultado que você cita de Arora e Barak contorna a questão principal aqui, porque em seu modelo (que é bastante padrão para TMs multipara), eles têm uma fita de entrada separada, somente leitura.

— Joshua Grochow

Respostas:

$o( |x| \log |x|)$

$\Sigma_4 = \{\epsilon,0,1,2 \}$ $f:\{0,1\}^* \to \{0,1\}$ $L = \{ x | f(x) = 1 \}$ $(o( |x| \log |x|))$

$1DLIN = 1DTime(O(n))$

$REG = 1DLIN$
$REG = 1DTime(o(n \log n))$

$L$ $\Sigma_3 = \{\epsilon,0,1\}$

$\Sigma_3$

... você não pode construí-lo diretamente do TM4, mas o TM3 existe.

$\Omega(n^2)$

$\Omega(n\log n) \cap o(n^2)$

(1) Cálculos de máquinas de Turing off-line de Hennie, com uma fita (1965)

(2) Kobayashi, Sobre a estrutura da hierarquia de tempo de máquina de Turing não determinística de uma fita (1985)

— Marzio De Biasi
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o (n \log n)

$o(n\log n)$

Ω (n \log n) \cap o (n^{2})

$\Omega(n\log n) \cap o(n^2)$

Você está certo, eu não notei o comentário de Kristoffer. Expressei mal o caso interessante (não sei como provar), então atualizei a resposta.

— Marzio De Biasi

o (n \log n)

$o(n \log n)$

O (n)

$O(n)$

L

$L$

O (n^{2})

$O(n^2)$

x \in L

$x \in L$

| x |^{2}

$|x|^2$

x \notin L

$x \notin L$

| x |^{2}

$|x|^2$

O (n)

$O(n)$ tempo, e não é solucionável usando uma máquina de estados finitos.

— Jukka Suomela

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

x

$x$

Θ (| x |^{2})

$\Theta(|x|^2)$

x \in L

$x \in L$

Θ (| x |)

$\Theta(|x|)$ bits de preenchimento.)

— Jukka Suomela

-4

~~$1$ $\log_k(x) \in \Theta(\log_l(x))$ $k, l > 1$~~

$t$ $t$ $k$ $\{0,1,\dots,k-1\}$ $\lceil \log_2(k) \rceil$ $\lceil \log_2(k) \rceil$ $\{0,1\}$ (espaços em branco são reservados para marcar células não utilizadas). Observe que este é essencialmente um código binário.

$\lceil \log_2(k) \rceil \cdot t \in \mathcal{O}(t)$

$\{0,1\}$ $\mathcal{O}(n^2)$ $\mathcal{O}(n^2) + \lceil \log_2(k) \rceil \cdot t$

$t(n) \in \Omega(n^2)$ $\Omega(n^2)$

— Rafael
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Até que você me convença por que isso deveria ser o caso, vou manter isso em votação.

— Andrej Bauer

Gostaria de ouvir algumas evidências de sua reivindicação. Tudo isso, é apenas uma alegação.

— Andrej Bauer

Oh, entendo a que você está se referindo. Ok desculpe. No entanto, a questão não é sobre isso . É uma ligeira variação.

— Andrej Bauer

Eu acho que o caso com t = Ω (n ^ 2) é o caso mais fácil, porque você pode ter tempo para mudar a string de entrada. O caso essencial é quando t = o (n ^ 2). Não sei o quanto é importante considerar a TM de fita única com o (n ^ 2) tempo, mas a questão é sobre isso.

— Tsuyoshi Ito 16/02

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$