Algoritmos holográficos - Equivalência de bases

Eu estava analisando o artigo seminal de Les Valiant e tive um momento difícil com a Proposição 4.3 na página 10 do artigo.

Não vejo por que, se existe um gerador com determinados valores para com base , existe algum gerador com os mesmos valores para qualquer base \ {(xa_1, yb_1) \ ldots (xa_r, yb_r) \} ( 1 ^ {st} tipo ) ou \ {(xb_1, ya_1) \ ldots (xb_r, ya_r) \} ( 2 ^ {nd} ) para qualquer x, y \ em F .{ ( a 1 , b 1 ) … ( a r , b r ) } v a l G { ( x a 1 , y b 1 ) … ( x a r , y b r ) } 1 s t k i n d { ( x b 1 , y $valG$$\{(a_1,b_1) \ldots (a_r,b_r)\}$$valG$$\{(xa_1,yb_1) \ldots (xa_r,yb_r)\}$$1^{st} kind$2 n d k i n d x , y ∈ $\{(xb_1,ya_1) \ldots (xb_r,ya_r) \}$$2^{nd} kind$$x,y \in F$

Valiant aponta a razão do parágrafo anterior - ou seja, o tipo de transformação $1^{st}$ pode ser alcançado anexando a cada nó de entrada ou saída uma extremidade do peso $1$ . O $2^{nd}$ espécie de transformação, Valente diz, pode ser conseguido anexando para nós de entrada ou de saída da cadeia de comprimento $2$ ponderadas por $x$ e $y$ , respectivamente.

Não fui realmente capaz de entender essas afirmações. Talvez eles já estejam claros, mas ainda não consigo realmente entender por que a construção acima ajuda a atingir valores valG realizáveis $valG$com uma base na nova base, que é um dos tipos acima.

Por favor, ajude a iluminá-los para mim. Em uma nota diferente, existem algumas pesquisas livres de tensoriais para algoritmos holológicos disponíveis on-line. A maioria deles usa tensores que, infelizmente, me assustam :-(

Best -Akash

Os tensores (nesse sentido) são apenas matrizes de números, então não acho que você encontrará pesquisas sem tensores, a menos que estejam completamente livres de cálculos.

A operação " " formaliza as operações de mudança de base e anexação de gadgets a cada nó de saída (na verdade, eu gosto de pensar em uma mudança de base como uma espécie de operação de gadget). Seja uma caixa de fósforos de gerador com assinatura padrão . Isso é uma matriz de números. A assinatura em uma nova base é dada por Γ M i 1 i 2 ⋯ i k = u ( Γ ) 2 $T^{\otimes k}$$\Gamma$$M_{i_1i_2\cdots i_k}=u(\Gamma)$$2^k$

$(T^{\otimes k}M)_{i_1i_2\cdots i_k}:=\sum_{i_1',\cdots,i_k'} T_{i_1i_1'} \cdots T_{i_ki_k'} M_{i_1'i_2'\cdots i_k'}$

onde é uma matriz dois por dois descrevendo a nova base.$T$

Seja a porta de partida formada adicionando novos vértices a , considerando-os como novas saídas e conectando-os às saídas antigas por uma aresta de peso . Então a nova assinatura é onde é a matriz . Se você, em seguida, realizar a alteração da base você começa a assinatura . k Γ x C ⊗ k M C i j ( 0 x 1 0 ) T C - 1 T ⊗ k$\Gamma'$$k$$\Gamma$$x$$C^{\otimes k}M$$C_{ij}$$\begin{pmatrix}0&x\\1&0\end{pmatrix}$$TC^{-1}$$T^{\otimes k}M$