Problemas no PN, mas não no P-médio / poli

O Theoem de Karp-Lipton afirma que se , então colapso em . Portanto, assumindo separações entre e , nenhum pertencerá a .P H Σ P 2 Σ P 2 Σ P 3 N P P / p o l $\mathsf{NP} \subset \mathsf{P/poly}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{\Sigma^P_2}$$\mathsf{\Sigma^P_2}$$\mathsf{\Sigma^P_3}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P/poly}$

Estou interessado na seguinte pergunta:

Assumindo que não entrar em colapso, ou assumir qualquer outra hipótese razoável na complexidade estrutural, o hard-on-média problemas são comprovada a não mentir em (se houver)?N P A v e r a g e - P / p o l $\mathsf{PH}$ $\mathsf{NP}$$\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$

Uma definição de pode ser encontrada em Relações entre Complexidade Média e Máxima . Obrigado a Tsuyoshi por apontar que eu realmente preciso usar vez de .$\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$P / p o l $\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$$\mathsf{P/poly}$

Eu acho que existem problemas como (as versões de decisão de) FACTORING ou DLOG que são conjecturados como , mas a conjectura não é comprovada com base em separações entre classes de complexidade. (Por favor me corrija se eu estiver errado.)$\mathsf{NP} - \mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$

Esta é uma versão ligeiramente melhorada dos meus dois comentários sobre a questão juntos.

Vamos restringir nossa atenção aos problemas de distribuição no DistNP (aka (NP, P-computable)) para simplificar. Então você está procurando um problema no DistNP ∖ Média-P / poli. Tautologicamente, esse problema existe se, e somente se, DistNP ⊈ Média-P / poli. E se DistNP ⊈ Média-P / poli, todos os problemas com DistNP-completo estão fora da Média-P / poli, porque a Média-P / poli é fechada com reduções médias de casos.

(Considerando uma classe maior SampNP (aka (NP, P-samplable) ) em vez de DistNP não muda muito a situação porque DistNP ⊆ Média-P / poli se e somente se SampNP ⊆ Média-P / poli. Essa equivalência é direta corolário do resultado de Impagliazzo e Levin [IL90] de que todo problema de distribuição no SampNP é em média redutível a um problema de distribuição no DistNP.)

Não sei qual suposição natural implica DistNP ⊈ Média-P / poli. Sabe-se que a suposição de que a hierarquia polinomial não entra em colapso implica uma conseqüência ainda mais fraca que DistNP ⊈ Média-P, de acordo com a Seção 18.4 de Arora e Barak [AB09]: “[…] mesmo sabendo que se P = NP , então a hierarquia polinomial PH cai para P […], não temos um resultado análogo para a complexidade média dos casos. ”

Referências

[AB09] Sanjeev Arora e Boaz Barak. Complexidade Computacional: Uma Abordagem Moderna , Cambridge University Press, 2009.

Russell Impagliazzo e Leonid A. Levin. Não há maneiras melhores de gerar instâncias NP difíceis do que escolher uniformemente aleatoriamente. No 31º Simpósio Anual de Fundamentos da Ciência da Computação , 812–821, outubro de 1990. http://dx.doi.org/10.1109/FSCS.1990.89604