Existe um algoritmo para manter eficientemente as informações de conexão de um DAG na presença de inserções / exclusões?

Dado um gráfico acíclico direcionado, , é possível oferecer suporte eficiente às seguintes operações?$G(V,E)$

• L um $isConnected(G,a,b)$ : determina se existe um caminho em do nó para o nó$G$$a$$b$
• a b $link(G,a,b)$ : Adiciona uma aresta de a no gráfico$a$$b$$G$
• a b $unlink(G,a,b)$ : remove a aresta de para em$a$$b$$G$
• $add(G,a)$ : adiciona um vértice a G
• $remove(G,a)$ : remove um vértice de G

Algumas notas:

• Se não permitirmos , parece que seria fácil manter as informações de conexão, usando uma estrutura de dados do tipo conjunto separado.$unlink$
• Obviamente, o pode ser implementado usando a pesquisa de profundidade ou largura, usando a representação ingênua do gráfico com base em ponteiro. Mas isso é ineficiente.$isConnected$

Espero um tempo constante ou logarítmico amortizado para as três operações. Isso é possível?

O problema que você descreveu é a acessibilidade totalmente dinâmica do DAG (também conhecido como fechamento transitivo totalmente dinâmico nos DAGs). É chamado de totalmente dinâmico, pois as pessoas também estudam as versões nas quais somente exclusões são possíveis (então é chamada de acessibilidade decremental) e onde apenas inserções são possíveis (chamadas de acessibilidade incremental).

Existem algumas vantagens e desvantagens entre o tempo de atualização e o tempo de consulta. Seja o número de arestas en o número de vértices. Para os DAGs, Demetrescu e Italiano (FOCS'00) forneceram uma estrutura de dados aleatória que suporta atualizações (inserções ou exclusões de arestas) no tempo O ( n 1,58 ) e consultas de acessibilidade no tempo O ( n 0,58 ) (inserções / exclusões de nós também são suportadas , em O (1) tempo); esse resultado foi estendido por Sankowski (FOCS'04) para trabalhar com gráficos direcionados gerais. Também para DAGs, Roditty (SODA'03) mostrou que é possível manter a matriz de fechamento transitivo no tempo total O ( m n + I · n 2 + D ), onde$m$$n$$n^{1.58}$$n^{0.58}$$mn+I·n^2+D$ é o número de inserções, D o número de exclusões e, claro, o tempo de consulta é O ( 1 ).$I$$D$$1$

Para gráficos direcionados gerais, são conhecidos os seguintes tempos (atualização, consulta): (O ( ), O (1)) (Demetrescu e Italiano FOCS'00 (amortizado), Sankowski FOCS'04 (pior caso)) ( O ( m $n^2$ ),O($m\sqrt{n}$ )) (Roditty, Zwick FOCS'02), (O (m+nlogn), O (n)) (Roditty, Zwick STOC'04), (O (n 1,58 ), O (n 0,58 )) e (O (n 1.495 ), O (n 1.495 )) de Sankowski (FOCS'04).$O(\sqrt{n}$$m+n\log n$$n$$n^{1.58}$$n^{0.58}$$n^{1.495}$$n^{1.495}$

Obter um tempo de consulta polilogarítmica, sem aumentar muito o tempo de atualização, é um grande problema em aberto, mesmo para DAGs.

Acho que os melhores resultados até agora são discutidos em "Manutenção de matrizes dinâmicas para fechamento transitivo totalmente dinâmico" . Esse artigo discute um algoritmo aleatório com tempo de consulta e tempo de atualização O ( n 1,58 ) .$O(n^{0.58})$$O(n^{1.58})$

(Isso cobre apenas a primeira versão da sua pergunta, com linke unlinkmas sem adde remove.)