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Tanto quanto eu entendo, o programa da teoria da complexidade geométrica tenta separar , provando que o permamento de uma matriz de valor complexo é muito mais difícil de calcular do que o determinante.$VP \neq VNP$

A pergunta que tive depois de examinar os Documentos do GCT: Isso implicaria imediatamente , ou é apenas um passo importante para esse objetivo?$P \neq NP$

A resposta curta é não'. Nenhuma implicação desse tipo é conhecida. Existem dois obstáculos principais: passar da complexidade do circuito aritmético para a complexidade booleana (VP ≠ VNP implica P / poly ≠ NP / poly) e depois passar da complexidade do circuito booleano (P / poly ≠ NP / poly) para a complexidade uniforme (P ≠ NP ) Nenhuma dessas etapas é conhecida. Eu acredito que P / poli ≠ NP / poli implica VP ≠ VNP, no entanto.

Assumindo a hipótese generalizada de Riemann (GRH), são conhecidas as seguintes conexões bastante fortes entre e o colapso da hierarquia polinomial ( P H ):$VP= VNP$${\rm PH}$

1. Se $VP= VNP\,$ (sobre qualquer campo), a hierarquia polinomial cai para o segundo nível;
2. Se $VP=VNP\,$ao longo de um campo de característica , em seguida, N C 3 / p o l y = P / p o l y = P H / p o l y ;$0$$\rm{NC}^3/{\rm poly}={\rm P}/{\rm poly} = {\rm PH}/{\rm poly}$
3. Se $VP=VNP\,$ao longo de um campo finito de característica , em seguida, N C 2 / p o l y = P / p o l y = P H / p o l y .$p$$\rm{NC}^2/{\rm poly}={\rm P}/{\rm poly} = {\rm PH}/{\rm poly}$

Estes são os resultados de: Peter Burgisser, " hipótese de Cook versus Valiant ", Theor. Comp. Sci., 235: 71-88, 2000.

Veja também: Burgisser, " Completude e redução na teoria da complexidade algébrica ", 1998.

Posso dar-lhe uma razão informal por que a separação não provaria .$P \ne NP$

VP e VNP enfocam funções algébricas cujo grau é delimitado por um polinômio. Observe que é fácil calcular em uma função algébrica de grau exponencial com um circuito algébrico de tamanho polinomial.

Existe uma redução bem conhecida de 1 profundidade para circuitos algébricos: qualquer circuito algébrico de tamanho polinomial que computa um polinômio de grau pode ser transformado em um circuito algébrico de tamanho polinomial e profundidade O ( log d log n ) .$d$$O(\log d \log n)$

Pode pensar em como uma variante algébrica de N C 2 , provando assim que V P ≠ V N P eleva-se a provar a um equivalente não uniforme algébrica de N C 2 ≠ # P . Isso não descartaria P = N P , pelo menos não imediatamente.$VP$$NC^2$$VP \ne VNP$$NC^2 \ne \# P$$P = NP$

Isenção de responsabilidade : não consigo acessar o artigo no momento e não me lembro se a redução funciona em qualquer campo ou apenas em áreas finitas.

1 LG Valiant, S. Skyum, S. Berkowitz, C. Rackoff. Rápida computação paralela de polinômios usando poucos processadores . SIAM J. Comput. 12 (4), pp. 641-644, 1983.