Evidência de que a multiplicação de matrizes pode ser feita em tempo quadrático?

É amplamente suposto que , o expoente ideal para multiplicação de matrizes, é de fato igual a 2. Minha pergunta é simples:$\omega$

Que razões temos para acreditar que ?$\omega = 2$

Conheço algoritmos rápidos como o Coppersmith-Winograd, mas não sei por que eles podem ser considerados evidências para .$\omega = 2$

Ingenuamente, parece-me um exemplo clássico em que uma comunidade apenas espera que um resultado seja verdadeiro puramente por razões estéticas. Gostaria muito de saber se esse é essencialmente o caso aqui.

Gostaria de acrescentar ao comentário de Mark Reitblatt e à resposta de Amir Shpilka. Primeiro, uma das conjecturas apresentadas por Cohn, Kleinberg, Szegedy e Umans não é teórica de grupo, mas é puramente combinatória (Conj. 3.4 em seu artigo da FOCS '05 ). Essa conjectura diz que "a forte capacidade da USP é ". Coppersmith e Winograd, ao exibirem o melhor algoritmo atualmente para multiplicação de matrizes, mostraram que a capacidade da USP é esse mesmo número (embora eles não tenham expressado dessa maneira). Embora exista uma diferença entre USPs fortes e USPs, há alguma evidência de que sua conjectura é pelo menos plausível.$\frac{3}{2^{2/3}}$$\frac{3}{2^{2/3}}$

(Para a outra Conjectura 4.7, que é teórica em grupo, não conheço nenhuma evidência semelhante de plausibilidade, além da mera intuição.)

Segundo, concordo com Amir Shpilka de que a série de algoritmos passados ​​parece um pouco ad-hoc. No entanto, uma das coisas boas da abordagem da teoria dos grupos é que quase todos (não todos) os algoritmos anteriores podem ser expressos nessa abordagem. Embora as várias construções teóricas de grupos em [CKSU] possam parecer um pouco ad-hoc do lado de fora, dentro do contexto da estrutura teórica de grupos elas parecem significativamente mais naturais e menos ad-hoc (pelo menos para mim) do que muitas os algoritmos anteriores.

Não conheço os outros, mas posso dizer por que acredito que . Quando você lê o histórico e o desenvolvimento de algoritmos de multiplicação de matriz rápida, acho que é difícil não sentir que tudo o que precisamos é apenas um algoritmo básico um pouco melhor a partir do qual, mesmo usando técnicas conhecidas, seguirá . Basicamente, todos os algoritmos atuais (incluindo os teóricos dos grupos) começam com alguma construção "simples" que é amplificada. Essas construções são inteligentes, mas dão ao leitor uma espécie de sentimento "ad-hoc". Não vejo uma razão para acreditar que não possamos criar construções simples melhores.ω = $\omega=2$$\omega=2$

Existe uma analogia que eu uso para justificar a conjectura que para mim. Sei que isso é bastante heurístico, mas, no entanto, me serviu bem, por exemplo, para entender parte da intuição por trás de Cohn et al. papel.$\omega = 2$

Convolução e multiplicação de matrizes são análogas. Se e são por- matrizes e , então . Se e são vetores de comprimento e , então . Nos dois casos, o resultado final é um vetor que consiste em somas de produtos, mas a estrutura relacional nos dados de entrada é diferente. Para convolução, podemos usar a FFT para calcular a resposta em vez do trivial . Analogamente, pode-se esperar uma$A$$B$$n$$n$$C = AB$$C(i,j) = \sum_{k=1}^n A(i,k) B(k,j)$$A$$B$$n$$C = A*B$$C(i) = \sum_{k=1}^n A(k)B(i-k)$S(n2) ~ S (n2$\tilde{O}(n)$$O(n^2)$$\tilde{O}(n^2)$ algoritmo de tempo para multiplicação de matrizes. A questão é: qual é o análogo da transformada de Fourier que pode ajudar na multiplicação da matriz?

É mais provável que seja . Ter parece fantasioso, pois a contabilidade constante de fatores não parece escalável.ω = $O(n^{2} log(n^2))$$\omega = 2$