Qual é a definição "correta" de limites superior e inferior?

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Seja $f(n)$ o pior caso de tempo de execução de um problema na entrada de tamanho $n$ . Vamos tornar o problema um pouco estranho, fixando $f(n) = n^2$ para $n=2k$ mas $f(n) = n$ para $n=2k+1$ .

Então, qual é o limite inferior do problema? A maneira como eu entendi é apenas o limite inferior de $f(n)$ . Mas sabemos que $f(n) = \Omega(n^2)$ implica que existe constante $k$ , $n_0$ tal que para todos $n > n_0$ , $f(n) > kn^2$ , o que não é verdade. Assim, parece que só podemos dizer $f(n) = \Omega(n)$ . Mas normalmente, chamaremos o problema de um limite inferior de $\Omega(n^2)$ , certo?
Supondo que $g(n) = \Omega(n^2)$ , o que significa que existe constante $k$ , $n_0$ tal que para todos $n > n_0$ , $g(n) > kn^2$ . Vamos supor também que um problema tenha tempo de execução $g(n)$ . Se pudermos reduzir esse problema para todos os números primos $n$ para outro problema (com o mesmo tamanho de entrada), podemos dizer que o tempo de execução do outro problema tem um limite inferior de $\Omega(n^2)$ ?

cc.complexity-theory time-complexity

— Wei Yu
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É por isso que os matemáticos usam lim sup e lim inf.

— Peter Shor

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Então eu acho que entendo a diferença. Acho que as pessoas que postam entenderão o Omega infinitamente. Mas, caso eu queira fazer uma distinção explícita, existem outras anotações que eu possa usar além de expandi-la?

— Wei Yu

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lim sup \frac{g (n)}{n^{2}} \geq k

$\limsup \frac{g(n)}{n^2} \geq k$

k

$k$

g (n) \geq k n^{2}

$g(n) \geq k n^2$

lim inf \frac{g (n)}{n^{2}} \geq k

$\liminf \frac{g(n)}{n^2} \geq k$

g (n) \geq k n^{2}

$g(n) \geq k n^2$

n

$n$

$\$

12

@ Wei: Para a maioria dos teóricos da complexidade (veja Lance abaixo), sua função é θ (n ^ 2); para a maioria dos algoritmos (consulte Knuth ou CLRS), sua função é Ο (n ^ 2) e Ω (n). Ambas as notações são quase, mas não completamente, padrão em suas subcomunidades; para piorar as coisas, essas duas subcomunidades se sobrepõem fortemente! Portanto, se importa qual notação você usa, você deve dizer explicitamente qual notação você está usando. (Felizmente, isso raramente importa.)

— Jeffε

2

@Jeffe. Eu acredito que você deve postar seu comentário como resposta.

— 22411 chazisop

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A definição correta de $f(n)=\Omega(n^2)$ é que existe algum tal que para infinitamente muitos , . A definição infinitamente frequente de limites inferiores lida com seus problemas e é como os usamos na prática. $k>0$ $n$ $f(n)\geq kn^2$

Fiz um post sobre isso em 2005.

Alguns livros escolares acertam essa definição, outros não.

— Lance Fortnow
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Knuth discorda de você: portal.acm.org/citation.cfm?id=1008329

— Jeffε

4

O CLRS e a Wikipedia também não concordam com você. A definição infinitamente frequente é uma alternativa digna de nota, mas parece ser menos utilizada.

— Anónimo

Eu acho que essas definições todos concordam quando o conjunto de exceções é medida 0.

— Carter Tazio Schonwald

2

f (n) = Ω (n^{2})

$f(n)=\Omega(n^2)$

f (n) = o (n + 1)

$f(n)=o(n+1)$

Ω

$\Omega$

o

$o$

— András Salamon

2

o

$o$

O

$O$

o

$o$

o

$o$

O

$O$

n = Ω (f (n))

$n = \Omega(f(n))$

f (n) = Ω (n^{2})

$f(n) = \Omega(n^2)$

n \neq Ω (n^{2})

$n \ne \Omega(n^2)$

Ω

$\Omega$

— András Salamon 27/03

4

$f(n)\in\Omega(n)$

Ω (f (n)) = {g ∣ \exists δ > 0 : \forall n_{0} > 0 : \exists n > n_{0} : g (n) \geq δ f (n)} .

$\Omega(f(n))=\{ g \mid \exists \delta>0:\forall n_0>0:\exists n>n_0: g(n)\geq \delta f(n)\}\textrm{.}$

$f(n)\in\Omega(n^2)$

— Marcus Ritt
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2

Não sei qual é o mais amplamente usado, mas acredito que conheço o uso mais antigo (de qualquer maneira para a ciência da computação).

No artigo de 1965 de Hartmanis & Stearns "Sobre a complexidade computacional dos algoritmos", o Corollary 2.1 é:

$U$ $T$ $\inf_{n \rightarrow \infty} \frac{T(n)}{U(n)} \geq 0$ $S_{U} \subseteq S_{T}$

$S_{K}$ $O( K(n) )$ $T(n) \geq n/k$ $k$ $n$ $T(n) \leq T(n+1)$

$k = 1$

O corolário 2.2 é o inverso do descrito acima e usa o limite supremo, mas ainda possui esses requisitos. Eu acho que, à medida que os algoritmos se tornaram mais complexos com o passar dos anos, é possível que os requisitos tenham sido relaxados.

— chazisop
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2

Eu acho que devemos distinguir entre duas coisas:

um limite inferior para uma função
um limite inferior para um problema (algoritmo)

Para funções, quando fixamos uma ordem, a definição de limite inferior / superior segue a mesma. Se a relação de ordem for majoração assintótica (ignorando fatores constantes)

f ⪯ g : \exists c, n \forall m > n . f (x) \leq c g (x)

$f \preceq g : \exists c,n \forall m>n. \ f(x) \leq c g(x)$

$O$ $\Omega$

$\mathbf{Time}(t(n))$ $n^2$ $n^2$ $o(t(n))$

— Kaveh
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