O que acontece se melhorarmos os teoremas da hierarquia de tempo?

$f,g$$f(n) \log f(n) = o(g(n))$f , g f ( n + 1 ) = o ( g ( n )

$$DTIME(f(n)) \subsetneq DTIME(g(n))$$ $f,g$$f(n+1)=o(g(n))$é $$NTIME(f(n)) \subsetneq NTIME(g(n)).$$ Existem muitos resultados (antigos e atuais) que usam os teoremas da hierarquia de tempo para provar limites mais baixos. Aqui estão as minhas perguntas:

• O que acontece se pudermos provar um resultado melhor para o caso determinístico ou não determinístico?

• Se pudermos provar que existe uma lacuna entre a hierarquia de tempo determinística e a hierarquia de tempo não determinística, isso implica $P \neq NP$ ?

Sobre sua segunda pergunta. Não, isso não implicaria $P \neq NP$ . Os teoremas da hierarquia são principalmente úteis para determinar a quantidade de um único recurso necessário para uma TM, para que problemas adicionais possam ser resolvidos.

Por exemplo, sabemos que . Deixe- , , de modo a que e .f ( n ) = n g ( n ) h ( n ) f ( n + 1 ) = o ( g ( n ) ) f ( n ) l o g ( f ( n ) ) = o $DTIME(n) \neq NTIME(n)$$f(n) = n$$g(n)$$h(n)$$f(n+1) = o(g(n))$$f(n)log(f(n)) = o ( h(n) )$

Dos teoremas da hierarquia, segue-se que e . Sob essas suposições, é possível .N T I M E ( f ( n ) ) ⊊ N T I M E ( h ( n ) ) N T I M E ( g ( n ) ) ⊆ D T $DTIME( f(n) ) \subsetneq DTIME( g(n) )$$NTIME ( f(n) ) \subsetneq NTIME( h(n) )$$NTIME( g(n) ) \subseteq DTIME( h(n) )$

Os teoremas da hierarquia podem ser usados ​​para determinar as relações entre os recursos, dada uma igualdade entre eles. Por exemplo, suponha que . Sabemos que , para tal que , não pode ser igual a , devido ao teorema da hierarquia NTIME.N T I M E ( g ( n ) ) g ( n ) 2 n + 1 = o ( g ( n ) ) S P A C E ( n $NTIME(2^{n}) = SPACE( n )$$NTIME( g(n) )$$g(n)$$2^{n+1} = o(g(n))$$SPACE(n)$

a hierarquia thms também trata de um continuum no tempo e no espaço (considerado separadamente) e parece possível que o continuum não seja mais "granular" do que está implícito nos teoremas, ou seja, eles podem ser a melhor "granularidade" possível.

sua segunda pergunta não parece clara ou talvez não esteja bem definida, a menos que você possa definir melhor o que quer dizer com "lacuna". todos os problemas decidíveis são solucionáveis ​​em algum lugar das duas hierarquias. a dificuldade é determinar as inter-relações. uma das raras "lacunas" ou separações na teoria atual foi de fato comprovada em tempo determinístico versus tempo não determinístico, de modo que [1]. veja também [2] para uma pergunta semelhante e avanços "recentes"$\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$

[1] PPST1983 http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1382850

[2] NTIME (n ^ k) TI DTIME (n ^ k)?