Existência de

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Considere o problema de conjunto dominante em gráficos gerais e seja o número de vértices em um gráfico. Um algoritmo de aproximação ganancioso fornece uma garantia de aproximação do fator , ou seja, é possível encontrar em tempo polinomial uma solução tal que , em que é o tamanho de um conjunto dominante mínimo. Há limites que mostram que não podemos melhorar a dependência muito http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf . $n$ $1 + \log n$ $S$ $|S| \leq (1 + \log n) opt$ $opt$ $\log n$

Minha pergunta: existe um algoritmo de aproximação que tenha uma garantia em termos de vez de ? Nos gráficos em que é muito grande em relação ao ótimo, uma aproximação fator- seria muito pior que uma aproximação fator- . É conhecido algo assim ou existem razões pelas quais isso não pode existir? Estou satisfeito com qualquer algoritmo de tempo polinomial que produz uma solução tal que para alguma constante . $opt$ $n$ $n$ $\log n$ $\log opt$ $S$ $|S| \in O(opt^c)$ $c$

cc.complexity-theory approximation-algorithms approximation-hardness

— Bart Jansen
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Eu acho que ainda está aberto se Dominating Set ou Hitting Set tiverem uma aproximação (OPT) para alguma função (não trivial) f. Essa deve ser uma pergunta muito difícil (e possível, profunda) de se responder. Considero a questão mais empolgante na aproximação parametrizada (junto com a pergunta análoga para o Clique). Você pode dar uma olhada na minha pesquisa [1] que discute isso. Observe que é mostrado no artigo mais recente [2] que "a satisfação do circuito monótono para circuitos de trama-2", um problema que é mais geral que o Dominating Set, não tem aproximação f (OPT) para nenhum f.

[1] D. Marx. Algoritmos parametrizados de complexidade e aproximação. The Computer Journal, 51 (1): 60-78, 2008.

[2] D. Marx. Problemas paramétricos monótonos e antimonotônicos completamente inapropriados. Em Anais da 25ª Conferência Anual do IEEE sobre Complexidade Computacional, Cambridge, Massachusetts, 181-187, 2010.

— Daniel Marx
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Obrigado pelas referências! Isso responde bem à minha pergunta.

— Bart Jansen

Também pode ser interessante observar a seguinte nota de Nelson, que mostra que não se pode obter boas proporções que dependem apenas do número de conjuntos. eccc.hpi-web.de/eccc-reports/2007/TR07-105/revisn01.pdf

— Chandra Chekuri

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Isso deve ser um comentário, pois não responde diretamente à sua pergunta, mas uma pergunta relacionada. Talvez um truque semelhante de [1] forneça uma resposta.

Em [1] o seguinte é comprovado:

$G=(V,E)$ $k$ $k$ $G$ $g(k)$ $g(k)$ $k$ $G$ $k$

$g(k)$

[1] Rodney G. Downey, Michael R. Fellows, Catherine McCartin e Frances Rosamond. "Aproximação parametrizada de problemas de conjuntos dominantes". Information Processing Letters, Volume 109 - Edição 1, dezembro de 2008.

— Ruub
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O truque em [1] baseia-se no fato de que o conjunto de domínios independentes como um problema de maximização não é monótono: um subconjunto de uma solução viável não é necessariamente uma solução viável (o que geralmente é o caso de problemas de maximização com aproximações significativas). Portanto, é muito bem possível que toda solução viável tenha o mesmo tamanho, tornando a aproximação irrelevante.

— Daniel Marx