Qual é o algoritmo mais rápido para calcular a classificação de uma matriz retangular?

Dada uma matriz (assumindo ), qual é o algoritmo mais rápido para calcular sua classificação e base das colunas?$m \times n$$m \ge n$

Estou ciente de que pode ser resolvido através da interseção matróide linear, que implica um algoritmo determinístico de tempo e um algoritmo aleatório de tempo . Existe um algoritmo determinístico de tempo que reduz mais diretamente o problema (ou eliminação gaussiana) à multiplicação da matriz?$O(mn^{1.62})$$O(mn^{\omega-1})$$O(mn^{\omega-1})$

Você pode trazer uma matriz de para a forma de escalão no tempo O ( n ω + ϵ ) para qualquer ϵ > 0 . Veja o livro "Teoria da Complexidade Algébrica" ​​de Bürgisser, Clausen, Shokrollahi, Seção 16.5.$2n \times n$$O(n^{\omega + \epsilon})$$\epsilon > 0$

Agora você aplica esse procedimento vezes à sua matriz m × n . Isso fornece um algoritmo com operações aritméticas O ( m n ω - 1 ) .$m/n$$m \times n$$O(mn^{\omega-1})$

Se você colocar uma matriz de na forma de escalão, ela conterá uma matriz zero de tamanho n × n posteriormente. Você pega os restantes n × n -matrix, adicionar um novo n × n -bloco de sua matriz de insumo e trazer isso para forma escalonada e assim por diante.$2n \times n$$n \times n$$n \times n$$n \times n$