A existência de preservador de distância planar?

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Seja G um gráfico não-direcionado de n nós e T seja um subconjunto de nós de V (G) chamados terminais . Um preservador de distância de (G, T) é um gráfico H que satisfaz a propriedade

d_{H} (você, v) = d_{G} (você, v)

$d_H(u,v) = d_G(u,v)$

para todos os nós u, v em T. (Observe que H NÃO é necessariamente um subgrafo de G.)

Por exemplo, seja G o seguinte gráfico (a) e T sejam os nós na face externa. Então o gráfico (b) é um preservador de distância de (G, T).

insira a descrição da imagem aqui

Sabe-se que existe um preservador de distância com vários parâmetros. Estou particularmente interessado em um com as seguintes propriedades:

G é plano e não ponderado (ou seja, todas as arestas de G têm peso um),
T tem tamanho $O(n^{0.5})$ e
H tem tamanho (o número de nós e arestas) $o(n)$ . (Seria bom se tivéssemos $O(\frac{n}{\log\log n})$ .)

Existe um tal preservador de distância?

Se não for possível atender às propriedades acima, qualquer tipo de relaxamento é bem-vindo.

Referências:

Preservadores de Distância Esparsas e Parciais, Don Coppersmith e Michael Elkin, SIDMA, 2006.
Preservadores para distâncias esparsas e chaves inglesas aditivas , Béla Bollobás, Don Coppersmith e Michael Elkin, SIDMA, 2005.
Chaves inglesas e emuladores com erros de distância sublinear , Mikkel Thorup e Uri Zwick, SODA, 2006.
Limites inferiores para chaves inglesas aditivas, emuladores e muito mais , David P. Woodruff, FOCS, 2006.

O preservador de distância também é conhecido como emulador ; muitos trabalhos relacionados podem ser encontrados na internet pesquisando o termo chave inglesa , que exige que H seja um subgrafo de G. Mas, em meus aplicativos, também podemos usar outros gráficos, desde que H preserve as distâncias entre T em G.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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-1 para usar JPEG para esse tipo de figura! (apenas brincando, mas PNG é geralmente muito melhor em qualidade de imagem e tamanho do arquivo para figuras simples)

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Obrigado pelas dicas úteis! Eu não sabia disso :)

— Hsien-Chih Chang #

4

Muitos anos depois, parece que o OP finalmente respondeu à sua própria pergunta: Emulador de distância quase ideal para gráficos planares de Hsien-Chih Chang, Paweł Gawrychowski, Shay Mozes e Oren Weimann acabou de ser publicado no arxiv.

$\widetilde{O}(\min\{t^2, \sqrt{tn}\})$ $|T| =: t$ $\widetilde{O}(n^{3/4})$ $\widetilde{O}(n)$

(Em uma nota menos formal, acho esse resultado realmente incrível. Parabéns!)

— GMB
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1

Obrigado à @GMB por publicá-la como resposta. Um pequeno problema aqui é que o preservador é direcionado ; é uma questão em aberto se existe um emulador não-direcionado (mas ainda não necessariamente plano) de tamanho sublinear. Mas é muito gratificante para finalmente saber a resposta a uma questão antiga depois de todos esses anos :)

— Hsien-Chih Chang張顯之

2

convém observar a chave de subconjunto planar de Klein, que preserva distâncias de até um fator de 1 + epsilon.

Chave de subconjuntos para gráficos planares, com aplicação ao subconjunto TSP http://doi.acm.org/10.1145/1132516.1132620

— Christian Sommer
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Obrigado, eu li o jornal, e há uma lacuna entre a construção dele e nossos requisitos. Parece que qualquer chave inglesa não funcionará desde que seja um subgrafo do gráfico original; pode-se tomar um gráfico de grade como um contra-exemplo. Mas existem emuladores para os gráficos de grade.

— Hsien-Chih Chang #

outra ideia de construção, talvez funcione? 1) aplique recursivamente os separadores de caminho mais curto (Thorup, FOCS'01) 2) cobertura eps para cada vértice [duas primeiras etapas constroem etiquetas de distância] existem terminais sqrt {n}, cada um com uma etiqueta do tamanho O (log n / eps), conectando-se a um número total de no máximo sqrt {n} * log n caminhos e 1 / eps vezes mais portais 3) atalho os portais nos caminhos pelas arestas ponderadas e atalho nas conexões dos portais pelas arestas, o gráfico resultante deve ter aproximadamente sqrt {n} * log n vértices e arestas (até eps) e representam 1 + eps caminhos mais curtos para distâncias exatas eu não sei ...

— Christian Sommer