Classe de complexidade correspondente à classificação

Duas partes do TCS são algoritmos e complexidade. Vou dizer de forma simplista que algoritmos é o estudo dos limites superiores, mostrando que você pode fazer algo (com recursos restritos) e a complexidade é mostrar que você não pode fazê-lo sem alguns recursos mínimos.

Com frequência, um problema algorítmico é declarado em um modelo de decisão para colocá-lo em uma classe de complexidade.

Mas algo que sempre me incomodou é que alguns algoritmos elementares nunca são mencionados diretamente como pertencentes a uma classe específica. Um exemplo é a classificação (comparação). Por mais que eu tente, uma classe relevante parece deficiente demais (na verdade, é apenas verificar no espaço de logs que o resultado está classificado? Isso parece fraco demais ou eu não estou conseguindo a versão correta da decisão).

Qual é a melhor / mais apropriada / mais útil classe de complexidade em que se encontra a classificação por comparação?

cc.complexity-theory sorting

— Mitch
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Respostas:

O problema de ordenação é realmente completa para $\mathsf{TC}^0$ (sob -redução). Uma fonte padrão para isso é a Seção 1.4.3 do livro de Vollmer . $\mathsf{AC}^0$

Observe que é a classe de problemas de decisão, mas geralmente pensamos em classificar como um problema de função, ou seja, queremos exibir os números, digamos, em ordem não decrescente. No entanto, também podemos definir a classificação como um problema de decisão da seguinte maneira: $\mathsf{TC}^0$

Dada uma sequência de números e dois números $a_1,\ldots,a_n$ $k,p\in [n]$ , queremos decidir se está na posição na seqüência temos, classificando em não decrescente ordem. Note-se que a ambigüidade evitar, quando , queremos para preceder se . $a_k$ $p$ $a_1,\ldots,a_n$ $a_i=a_j$ $a_i$ $a_j$ $i<j$

— Dai Le
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Excelente ... especificado como que problema formal de decisão?

— Mitch

Seria o dobro excelente incluir uma referência em sua resposta.

— Oleksandr Bondarenko

@ Mitch e @ Okeksandr: Obrigado por seus comentários! Acabei de estender minha resposta para esclarecer esses pontos.

— Dai Le

Isso soa como o problema de decisão para estatísticas de pedidos. Existe um problema relacionado em que tudo está no lugar certo? Algo como dar uma sequência

e uma permutação

a_{1} . . . a_{n}

$a_1...a_n$

σ

$\sigma$

decidem se

. Isso é tão difícil quanto o seu; é mais difícil ou completo para uma aula inclusiva?

[1.. n]

$[1..n]$

\forall_{1 \leq k < j \leq n}, a_{σ_{k}} < a_{σ_{j}}

$\forall_{1\le k\lt j\le n}, a_{\sigma_k} < a_{\sigma_j}$

— Mitch

@ Mitch: Eu acredito que verificar se tudo está no lugar certo como esse é realmente mais fácil do que classificar. A intuição é que você pode verificar se

para todo o par possível

com

em paralelo, o que eu acredito que pode ser feito em

. Para o problema de classificação acima, você precisa "contar" para descobrir a posição correta de um número na ordem linear.

a_{σ_{k}} < a_{σ_{j}}

$a_{\sigma_k}<a_{\sigma_j}$

(a_{σ_{k}}, a_{σ_{j}})

$(a_{\sigma_k},a_{\sigma_j})$

k < j

$k<j$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Dai Le

Acredito que FP é o que você está procurando.

— Nicholas Mancuso
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Bem, eu estou procurando pela classe de complexidade de decisão relevante, e não pela funcional, mas mesmo assim, tenho certeza de que a classificação por comparação não está nem perto de P-complete (ou FP-complete), então estou esperando uma classe menor para a qual espera-se estar / completa para.

— Mitch

Eu não sabia que a integridade era um dos requisitos para sua pergunta. Como um problema de decisão (se você desconsiderar sua restrição de integridade), por que P não seria aceitável como resposta? Dado um DTM, você pode produzir e validar um certificado em tempo polinomial.

— Nicholas Mancuso

Dado um problema geral, o que eu normalmente quero saber não é apenas o tempo polinomial, mas a menor classe em que ele poderia estar. Gostaria de saber se está em LOGCFL, NL, L, AC_0, etc. é uma maneira de você "não poder" fazer melhor. Portanto, nit não é um requisito da minha pergunta, mas provavelmente uma resposta.

— Mitch