Limitando a lacuna entre a complexidade da consulta quântica e determinística

Embora sejam conhecidas separações exponenciais entre a complexidade da consulta quântica com erro limitado ( ) e a complexidade determinística da consulta ( ) ou a complexidade aleatória da consulta com erro limitado ( ), elas se aplicam apenas a determinadas funções parciais. Se as funções parciais tiverem estruturas especiais , elas também estarão relacionadas polinomialmente com . No entanto, estou mais preocupado com o total de funções.D ( f ) R ( f $Q(f)$$D(f)$$R(f)$$D(f) = O(Q(f)^9))$

Em um artigo clássico , foi mostrado que é delimitado por para funções totais, para funções totais monótonas e para funções totais simétricas. No entanto, não são conhecidas separações quadráticas superiores a esse tipo de função (essa separação é obtida por por exemplo). Tanto quanto eu entendo, a maioria das pessoas conjectura que, para funções totais, temos . Sob quais condições essa conjectura foi comprovada (além das funções simétricas)? Quais são os melhores limites atuais para a complexidade da árvore de decisão em termos de complexidade quântica de consultas para funções totais?O ( Q ( f ) 6 ) O ( Q ( f ) 4 ) O ( Q ( f ) 2 ) O R D ( f ) = O ( Q ( f ) 2$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$$OR$$D(f) = O(Q(f)^2)$

Até onde eu sei, os limites gerais que você declara são essencialmente os mais conhecidos. Mudando um pouco o modelo, Midrijanis mostrou o limite de que , onde é a complexidade exata da consulta quântica de ; também existem limites mais rígidos conhecidos em termos de erro unilateral (consulte a Seção 6 deste documento ).Q E ( f ) $D(f) = O(Q_E(f))^3$$Q_E(f)$$f$

Em termos de classes de funções mais específicas, mas ainda gerais, existe um artigo de Barnum e Saks que mostra que todas as funções de leitura única em variáveis ​​têm complexidade quântica de consultas .Ω ( $n$$\Omega(\sqrt{n})$

Embora esse progresso tenha sido limitado, houve um progresso considerável no limite inferior da complexidade da consulta quântica de funções específicas ; veja este comentário para mais detalhes (ou, por exemplo, o mais recente papel de Reichardt, o que prova que a versão mais geral da '' adversário '' caracteriza vinculados quantum complexidade consulta).

Gosto da resposta de Ashley Montanaro, mas pensei em incluir também um conjunto de funções pelas quais a conjectura é conhecida.

Um conjunto de funções que geralmente interessa são as funções com 1 certificado de tamanho constante. Essa classe de problemas inclui coisas como , distinção, colisão, localização de triângulos e muitos outros problemas (não pertencentes à família HSP) que demonstraram ter separações de complexidade de consulta.$OR$

Para uma função total 1 certificado de tamanho constante , temos .D ( f ) = O ( Q ( f ) 2$f$$D(f) = O(Q(f)^2)$

Detalhes:

Um certificado para uma entrada é um subconjunto de bits modo que, para todas as entradas , . Então é o tamanho mínimo de um certificado para a entrada a complexidade de 1 certificado (A complexidade do certificado 0 é a mesma, mas restrita a ).S ⊆ { 1 , . . . , N } y ( ∀ i ∈ $x$$S \subseteq \{1,...,n\}$$y$C x ( f ) x C 1 ( f ) = max x | f ( x ) = 1 C x ( f ) f ( x ) = $(\forall i \in S \quad y_i = x_i) \rightarrow f(y) = f(x)$$C_x(f)$$x$$C_1(f) = \max_{x | f(x) = 1} C_x(f)$$f(x) = 0$

Você pode mostrar que . Então você pode usar o algoritmo apresentado em Buhrman e de Wolf pesquisa para mostrar que:D(f)≤C$Q(f) \geq \sqrt{bs(f)} \geq 2C_0(f)/2^{C_1(f)} + 1$$D(f) \leq C_1(f)bs(f) \leq C_0(f)C_1(f)$

Se restringirmos a atenção às propriedades do gráfico, podemos provar limites ligeiramente aprimorados em comparação com os limites gerais mencionados:

Em um artigo clássico , foi mostrado que é delimitado por para funções totais, para funções totais monótonas e para funções totais simétricas.O ( Q ( f ) 6 ) O ( Q ( f ) 4 ) O ( Q ( f ) 2$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$

Primeiro, acho que o sexto limite de potência pode ser aprimorado para o quarto de potência nas propriedades do gráfico. Isto segue de [1], onde eles mostram que qualquer propriedade de gráfico tem complexidade de consulta pelo menos , onde é o tamanho da entrada, que é quadrático no número de vértices. É claro que a complexidade consulta clássica é no máximo .N $\Omega(N^{1/4})$$N$$N$

O quarto limite de energia para funções totais monotônicas pode ser aprimorado para o terceiro nível de potência em propriedades gráficas monótonas. Isso resulta de uma observação não publicada de Yao e Santha (mencionada em [2]) que todas as propriedades de gráficos monotônicos têm complexidade quântica de consultas .$\Omega(N^{1/3}\log^{1/6}N)$

[1] Sun, X .; Yao, AC .; Shengyu Zhang, "Propriedades gráficas e funções circulares: quão baixa pode ser a complexidade da consulta quântica?", Complexidade Computacional, 2004. Proceedings. 19a Conferência Anual da IEEE, vol., No., Pp.286.293, 21-24 de junho de 2004 doi: 10.1109 / CCC.2004.1313851

[2] Magniez, Frédéric; Santha, Miklos; Szegedy, Mario (2005), "Algoritmos quânticos para o problema do triângulo", Anais do décimo sexto simpósio anual do ACM-SIAM sobre algoritmos discretos, Vancouver, Colúmbia Britânica: Society for Industrial and Applied Mathematics, pp. 1109-1117, arXiv: quant -ph / 0310134.

Muito progresso foi feito nessa questão em 2015.

Primeiro, em arXiv: 1506.04719 [cs.CC] , os autores melhoraram a separação quadrática, mostrando uma função total com$f$

Por outro lado, em arXiv: 1512.04016 [quant-ph] , foi demonstrado que a relação quadrática entre a complexidade da consulta quântica e determinística se mantém quando o domínio da função é muito pequeno.