Ajuda do algoritmo de fatoração de Shor

Estou com um pequeno problema para entender completamente as etapas finais do algoritmo de fatoração de Shor.

Dado um que queremos fatorar, escolhemos um aleatório com a ordem . $N$ $x$ $r$

A primeira etapa envolve configurar os registros e aplicar o operador Hadamard. A segunda etapa é aplicado um operador linear. O terceiro passo é medido o segundo registro (acredito que este passo pode ser executado mais tarde). A quarta etapa, a transformada discreta de Fourier, é aplicada ao primeiro registro. Então medimos o primeiro registro.

Aqui é onde estou um pouco nebuloso:

Nós obtemos uma medida no formato . $\mid j , x^k \textrm{mod} N \rangle$

A partir disso, podemos encontrar os convergentes da fração , os convergentes são valores possíveis da ordem . Aqui, apenas tentamos todos os convergentes e, se não encontrarmos como um dos convergentes, começamos novamente? $\frac{j}{2^q}$ $r$ $< N$ $r$

Também como a probabilidade de possíveis valores difere? Eles pensam que todos deveriam ter a mesma probabilidade, mas o artigo de Shor diz que esse não é o caso? $j$

Um pouco confuso, pois alguns jornais parecem dizer coisas diferentes.

Obrigado.

quantum-computing

— Callum
fonte

@ Peter Shor pode até ajudá-lo com este.

— perfil completo de Dave Clarke

Desde que fiz essas perguntas, acho que entendi melhor. Para esclarecer aos interessados, obtemos uma medida no formato

∣ j, x^{k} \mod N ⟩

$\mid j , x^k \mod N \rangle$ onde tudo o que precisamos é

j

$j$ . O valor

j

$j$ pode ser escrito como

j = 2^{q} k / r

$j= 2^q k/ r$ dividindo por

2^{q}

$2^q$ obtemos

k / r

$k/r$ e, a partir disso, podemos encontrar seus convergentes, o denominador

< N

$< N$ de um convergente é um valor possível de

r

$r$ , se não é que o algoritmo seja executado novamente. A probabilidade de encontrar

j

$j$ é baseada em uma soma que depende do valor de

2^{q}

$2^q$ e qual é o período

r

$r$ .

— Callum

A partir disso, podemos encontrar os convergentes da fração $j/2^q$ , os convergentes são valores possíveis da ordem $r.$ Aqui, apenas tentamos todos os convergentes $<N$ e, se não encontrarmos $r$ como um dos convergentes, começamos novamente?

Você poderia; o algoritmo funciona bastante rápido se você o fizer. Se você deseja reduzir o número esperado de etapas quânticas, também pode fazer alguns outros testes; por exemplo, você deve verificar se é um múltiplo pequeno de um dos convergentes. Mas se você não encontrar após esses testes estendidos, precisará iniciar novamente. $r$ $r$

Também como a probabilidade de possíveis valores difere? Eles pensam que todos deveriam ter a mesma probabilidade, mas o artigo de Shor diz que esse não é o caso? $j$

Não sei se posso ajudá-lo mais com isso, porque você não me deu informações suficientes para saber por que está confuso. A probabilidade de cada valor de na fração é (quase quase) a mesma. No entanto, dependendo de exatamente onde cai entre os valores adjacentes de e , as probabilidades dos valores específicos de diferem. $k$ $k/r$ $k/r$ $j/2^q$ $(j+1)/2^q$ $j$

— Peter Shor
fonte

Eu gosto de como você se refere ao papel como "papel de Shor" :)

— Suresh Venkat

Só estou um pouco inseguro sobre como a probabilidade funciona. Estou certo ao dizer que . Nos exemplos que eu vi, houve uma simetria na distribuição de probabilidade em torno do ponto médio do eixo , esse é sempre o caso? Suponha que , isso significa que, para todos os valores possíveis de , onde , todos os terão uma probabilidade igual de ? Obrigado.

Prob (j) = \frac{1}{2^{q} \times ([\frac{2^{q} - k - 1}{r}] + 1)} | \sum_{a = 0}^{[\frac{2^{q} - k - 1}{r}]} e^{- 2 π i r j a / 2^{q}} |^{2}

$\textrm{Prob} (j) = \frac{1}{2^q \times ([ \frac{2^q - k -1}{r}]+1)} \Bigg| \sum^{[ \frac{2^q - k -1}{r}]}_{a=0} e^{ -2 \pi i rja/2^q } \Bigg| ^2$

x

$x$

r = 2^{t}

$r= 2^t$

j = \frac{k_{0} 2^{q}}{r}

$j= \frac{ k_0 2^q}{r}$

k_{0} = 0, \dots, r - 1

$k_0 = 0, \cdots , r-1$

j

$j$

\frac{1}{2^{t}}

$\frac{1}{2^t}$

— Callum

Se , então todos os valores possíveis de terão uma probabilidade igual de .

r = 2^{t}

$r=2^t$

j

$j$

1 / 2^{t}

$1/2^t$

— quer