Resolvendo um labirinto com funil de números

Meu filho de 8 anos se cansou de criar labirintos convencionais e passou a criar variantes que se parecem com isso:

Amostra do funil de número

A idéia é começar de x e alcançar o através das regras normais. Além disso, você pode "saltar" de qualquer número inteiro para qualquer outro número inteiro , mas você deve pagar dólares pelo privilégio. O objetivo é resolver o labirinto pelo menor custo. No exemplo acima, poderíamos ir de x para o via x-14-18-27-28-o no custo 5, mas é mais barato ir para x-13-11-9-8-29-28-o apenas 4) $a$ $b$ $|a-b|$

Então, aqui está a minha pergunta: qual é a melhor solução (em termos de tempo de execução assintótica) que você pode pensar para resolver isso? Você pode fazer suposições razoáveis sobre o formato de entrada.

Nota: Estou usando a tag "puzzles" aqui porque tenho uma resposta em mente, mas não tenho certeza se é o ideal e gostaria de ver se alguém pode melhorar minha solução. (Aqui é o número de números inteiros no labirinto.) $O(n^2)$ $n$

ds.algorithms optimization puzzles

— Fixee
fonte

Adereços para o seu filho para criar esses quebra-cabeças criativos e matemáticos!

— bbejot 2/11/11

@bbejot Você deve ver algumas das coisas que ele me pergunta ... às vezes não consigo responder às perguntas dele. Por exemplo, math.stackexchange.com/questions/33094/…

— Fixee

Não tenho certeza de que seus cálculos de custos estejam corretos. x-14-18-27-28-o deve custar

e x-13-11-9-8-29-28-o deve custar

4 + 9 + 1 = 14

$4 + 9 + 1 = 14$

2 + 2 + 1 + 21 + 1 = 27

$2 + 2 + 1 + 21 + 1 = 27$

— Dave Clarke

@ Nem todas as transições são saltos. Poderíamos escrever 'ab' para saltos (que têm um custo de

) e 'a-> b' para caminhar no gráfico de a para b (que tem um custo de

), o que é permitido somente se eles são acessíveis sem quebrar uma parede no labirinto. Nesta notação, temos x-> 14-18-> 27-28-> o e um custo de 5 e x-> 13-11-> 9-8-> 29-28-> o. Fino que Fixee não introduziu essa notação por ser redundante: não há razão para pular duas vezes e, portanto, os saltos e caminhadas no labirinto se alternam.

| a - b |

$|a - b|$

0

$0$

— Artem Kaznatcheev

Este é um excelente problema de lição de casa!

— Jeffε 3/11/11

$O(n\log n)$ $y$ $y$ $y_-$ $y_+$ $y$ $y$

Essas atualizações são suficientes para manter a pilha retornando o elemento mínimo porque qualquer nó mais próximo para o qual você salta deve estar numericamente logo acima ou logo abaixo de um nó já visitado.

$y_-$ $y_+$ $O(n \log n)$ $O(n)$ $O(n \log n)$ $O(n \log n)$

— Dave
fonte

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

x

$x$

o

$o$

2 x_{i}

$2x_i$

2 x_{i} + 1

$2x_i+1$

x_{i}

$x_i$

x_{i}

$x_i$

x_{i}

$x_i$

O (n l g n)

$O(n lg n)$

y_{+}

$y_+$

y_{-}

$y_-$

O (n l g n)

$O(n lg n)$

O (n \log \log n)

$O(n \log\log n)$

O (n)

$O(n)$

$O(n^2)$

Parece natural converter isso no problema de caminho mais curto com um nó inicial especial (x) e um nó final (0). Também haveria um outro nó para cada um dos números. Tanto x como 0 têm arestas de peso 0 para todos os nós numéricos que são alcançáveis no labirinto. Todos os nós numéricos são conectados com o peso 0 (se os números forem acessíveis pelo labirinto) ou com a diferença entre os números (se não for possível com o labirinto).

$O(n^2)$ $n^2$ $O(n^2)$

— bbejot
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O (n^{2})

$O(n^2)$

O (n^{2} \lg n)

$O(n^2 \lg n)$

r

$r$

O (r^{2})

$O(r^2)$

O (n \log n)

$O(n\log n)$

O (r^{2} + n \log n)

$O(r^2 + n\log n)$

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$