Algoritmos surpreendentes para contar problemas

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Existem alguns problemas de contagem que envolvem contar exponencialmente muitas coisas (em relação ao tamanho da entrada) e ainda possuem algoritmos determinísticos surpreendentes em tempo polinomial exato. Exemplos incluem:

Contando combinações perfeitas em um gráfico planar (o algoritmo FKT ), que é a base para o funcionamento dos algoritmos holográficos .
Contando árvores de abrangência em um gráfico (através do teorema da árvore matricial de Kirchhoff ).

Um passo fundamental nesses dois exemplos é reduzir o problema de contagem para calcular o determinante de uma determinada matriz. Um determinante é ele próprio, é claro, uma soma de muitas coisas exponencialmente, mas pode surpreendentemente ser computado em tempo polinomial.

Minha pergunta é: existe algum algoritmo exato e determinístico "surpreendentemente eficiente" conhecido por contar problemas que não se reduz à computação de um determinante?

cc.complexity-theory counting-complexity big-picture

— Ashley Montanaro
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BTW, muitos outros problemas de contagem se reduzem à computação do determinante. O determinante inteiro está completo para a classe GapL, que contém #L.

— 5501

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Não sei se os seguintes problemas reduzem ou não o cálculo do determinante, mas listarei de qualquer maneira:

$v_0$ $v_f$ $v_f$ $v_0$

2) Contando o número de soluções de problemas definíveis na lógica MSO em estruturas de largura de árvore limitada. Veja, por exemplo, o artigo que se baseia em obras de Courcelle, Arnborg e outros .

$f:\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$ $x$ $f(x)=1$ $U_f$ $|x\rangle|0\rangle$ $|x\rangle|f(x)\rangle$ $|1\rangle$ $U_fH^{\otimes n}|0\rangle|0\rangle$

— Mateus de Oliveira Oliveira
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Obrigado - os itens (2) e (3) são interessantes, mas de alguma forma não são exatamente o que eu estava procurando; problemas de contagem com largura de árvore delimitada parecem mais casos especiais em que a estrutura com a qual você está trabalhando é delimitada polinomialmente. Eu estava mais interessado nos casos em que existem "realmente" exponencialmente muitos objetos a serem contados, mas eles podem, de alguma forma, ser contados magicamente em tempo polinomial.

— Ashley Montanaro #

Isso não significa que, se você usar uma codificação unária, o algoritmo precisará de tempo exponencial apenas para escrever o número? É possível que esse problema seja superado usando a codificação binária, mas isso me parece contraditório.

— Antonio Valerio Miceli-Barone

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@ Miceli-Barone, o que você diz se aplica a praticamente qualquer algoritmo de tempo poli que gera um número. O determinante em si seria bastante grande no pior dos casos, em unário.

— Rafael

\frac{(n + 1)^{\frac{n + 1}{2}}}{2^{n}}

$\frac{(n + 1)^{\frac{n+1}{2}}}{2^n}$

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Contar o número de pontos de rede em um polítopo racional (quando a dimensão é constante) em tempo polinomial , devido a Alexander Barvinok.

— Yoshio Okamoto
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qual é a principal técnica?

— Suresh Venkat

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Uma função geradora curta. O artigo expositivo a seguir nos daria mais idéias. arxiv.org/abs/math/0506466

— Yoshio Okamoto

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Na estrutura de Holant, existem vários casos que são razões tratáveis (por não triviais) que não sejam através de portas de correspondência em gráficos planares.

1) Portões de Fibonacci

2) Qualquer conjunto de assinaturas afins .

3) #CSPs ponderados não negativos

...para nomear alguns.

Além disso, o teorema BEST fornece um algoritmo de tempo polinomial para contar o número de circuitos eulerianos em um gráfico direcionado, embora parte do algoritmo use um cálculo determinante.

— Tyson Williams
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