Editar distância entre duas partições

Eu tenho duas partições de $[1 \ldots n]$ e estou procurando a distância de edição entre elas.

Com isso, desejo encontrar o número mínimo de transições únicas de um nó em um grupo diferente necessário para passar da partição A para a partição B.

Por exemplo, a distância de {0 1} {2 3} {4}dentro {0} {1} {2 3 4}seria dois

Após a pesquisa, deparei-me com este documento, mas a) não tenho certeza se eles estão levando em consideração a ordem dos grupos (algo com o qual não me importo) à distância b) não tenho certeza de como ele funciona ec) Não há referências.

Qualquer ajuda apreciada

Esse problema pode ser transformado no problema de atribuição , também conhecido como problema de correspondência bipartida ponderada máxima.

Observe primeiro que a distância de edição é igual ao número de elementos que precisam ser alterados de um conjunto para outro. Isso é igual ao número total de elementos menos o número de elementos que não precisam ser alterados. Portanto, encontrar o número mínimo de elementos que não mudam é equivalente a encontrar o número máximo de vértices que não mudam.

Deixe e B = { B 1 , B 2 , . . . , B l } ser partições de [ 1 , 2 , . . . , n ] . Além disso, sem perda de generalidade, deixar k ≥ l (permitida porque e d i $A = \{ A_1, A_2, ..., A_k \}$$B = \{ B_1, B_2, ..., B_l \}$$[1, 2, ..., n]$$k \ge l$ ). Então deixe B l + 1 , B l + 2 , ..., B k todos os conjuntos vazios. Então, o número máximo de vértices que não são alterados é:$edit(A, B) = edit(B, A)$$B_{l+1}$$B_{l+2}$$B_k$

$\max_f \sum_{i=1}^k |A_i \cap B_{f(i)} |$

onde é uma permutação de .[ 1 , 2 , . . . , K $f$$[1, 2, ..., k]$

Esse é exatamente o problema de atribuição em que os vértices são , ..., , , ..., e as arestas são pares com peso. Isso pode ser resolvido no tempo .A k B 1 B k ( A i , B j ) | A i ∩ B j | O ( | V | 2 log | V | + | V | | E |$A_1$$A_k$$B_1$$B_k$$(A_i, B_j)$$|A_i \cap B_j|$$O(|V|^2 \log |V| + |V||E|)$

Veja o PDF deste artigo

http://www.ploscompbiol.org/article/info:doi/10.1371/journal.pcbi.0030160

A definição da distância de edição é exatamente o que você precisa, eu acho. A partição 'referência' seria (arbitrária) uma das suas duas partições, a outra seria simplesmente a outra. Também contém citações relevantes.

Best, Rob

Ideia irritadiça da manhã de domingo que pode ou não estar correta:

Wlog, seja a partição com mais conjuntos, a outra. Primeiro, atribua nomes diferentes aos pares aos seus conjuntos . Em seguida, encontre a melhor nomenclatura para os conjuntos pelas seguintes regras:P 2 n 1 ( S ) ∈ Σ P 1 n 2 ( S ) P $P_1$$P_2$$n_1(S) \in \Sigma$$P_1$$n_2(S)$$P_2$

• S ∈ P 2 S ∩ S ' S ' ∈ P $n_2(S) := n_1(S')$ para com máximo entre todos os ; escolha aquele que criar o mínimo de conflitos, se várias opções forem possíveis.$S \in P_2$$S \cap S'$$S' \in P_1$
• Se agora para alguns , atribua aquele que compartilha menos elementos com , o nome do conjunto em ele compartilha o segundo maior número de elementos, ou seja, compete pelo nome do conjunto.S ≠ S ′ S ″ , n 1 ( S ″ ) = n 2 ( S ) P $n_2(S) = n_2(S')$$S \neq S'$$S'', n_1(S'') = n_2(S)$$P_1$
• Se a regra anterior não puder ser aplicada, verifique se os dois conjuntos podem competir pelo nome de outros conjuntos com os quais compartilham menos elementos (eles ainda podem ter mais elementos de algum que os conjuntos aos quais foi atribuído seu nome!). Em caso afirmativo, atribua esse nome ao de que compartilha mais elementos com o respectivo conjunto cujo nome eles podem competir; o outro mantém o nome anteriormente conflitante. S , S $S'' \in P_1$$S, S'$
• Itere este procedimento até que todos os conflitos sejam resolvidos. Como não possui menos conjuntos que , existem nomes suficientes.P $P_1$$P_2$

Agora, você pode considerar as cadeias de bits de seus elementos em qualquer partição, ou seja, e ( com ). Então, a quantidade desejada é , ou seja, a distância de Hamming entre as seqüências de bits.w 2 = N 2 ( 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ n 2 ( n ) n j ( i ) = n j ( S ) , i ∈ S ∈ P j d H ( w 1 , w 2$w_1 = n_1(1) \cdot \dots \cdot n_1(n)$$w_2 = n_2(1) \cdot \dots \cdot n_2(n)$$n_j(i) = n_j(S), i \in S \in P_j$$d_H(w_1, w_2)$