Como abater suas provas

Quais são as diretrizes gerais para verificar suas provas? Eu acredito que isso é importante para estudantes de pós-graduação como eu. Eu já sei o que precisamos fazer para provar algo, mas você sempre precisa verificar tudo antes de enviá-lo. Mesmo para o seu próprio consultor.

Desenvolvi algumas estratégias por tentativa e erro e recebi muitos conselhos do meu orientador. Mas este é sempre um trabalho muito tedioso. Normalmente, quando você termina algo, só quer continuar com o próximo problema, mas ainda precisa se ater ao problema atual até que tudo esteja perfeito. Aqui apresento um exemplo da minha própria lista de truques:

1. Preencha os detalhes. Muitos erros existem em alguns lugares onde você escreve "é claro que ...", "sem perda de generalidade ...", etc.
2. Experimente alguns números. Tente casos extremos, como "o que acontece quando eu defino ou ".n = $n=1$$n=1000$
3. Mantenha um notebook limpo. Escreva todos os dias nele e compare-o com suas anotações brutas. Tento escrever também em látex, encontrei muitos erros dessa maneira.

Quais são as estratégias gerais que você aplica para verificar suas provas?

O objetivo desta pergunta é torná-la um wiki da comunidade.

Os engenheiros de software têm uma noção que chamam de " odores de código ". Esses são sintomas no código que podem indicar um problema mais profundo. Os engenheiros de software coletam listas mentais de odores para conhecer (ou seja, métodos excessivamente longos ou muitos parâmetros). Isso não significa necessariamente que há um problema, mas simplesmente indica que o escritor pode querer verificar novamente.

Proponho que devemos considerar também "cheiros à prova" . Isso não fornecerá um algoritmo para verificar suas provas, mas fornece uma linguagem e uma metáfora para o reconhecimento de possíveis problemas nas provas. Alguns exemplos de provas cheiram:

1. Os advérbios "Claramente", "Obviamente", etc.
2. Referência à prova de um resultado anterior em vez de uma referência ao resultado em si.
3. Uso irreverente de um resultado com muitas pré-condições técnicas.

Há também cheiros mais sutis. Por exemplo, se uma prova usa o teorema do binômio para expandir uma expressão e depois usa o teorema do binômio para retornar a uma forma fechada, então talvez haja uma manipulação direta na forma fechada que dê o mesmo resultado.

Minha sugestão é coletar uma lista (mental ou escrita) desses odores e verificá-los enquanto você lê seu trabalho. O bom efeito colateral dessa abordagem é que ela também fará de você um melhor leitor.

Nota: Minha esperança nesta resposta era dar um lado intuitivo à resposta rigorosa fornecida por Como escrever uma prova de Lamport, mencionada na resposta de M. Alaggan.

Há um artigo muito bom de Leslie Lamport ( Como escrever uma prova ). Na verdade, é uma proposta dele sobre o estilo de escrever provas detalhadas de tal forma que:

(1) Permite detectar erros de maneira direta

(2) Torna claro quais suposições e teoremas são usados ​​em quais partes, o que facilita bastante ver o que acontece se você quiser (por exemplo) usar suposições mais fracas

Há também alguma experiência da comunidade e comentários inspiradores sobre esta técnica no MO, que mostram uma experiência positiva em geral (e alguns outros recursos também).

Atualização: existe uma nova versão Como escrever uma prova do século XXI .

Dick Lipton tem um belo artigo intitulado ' Como provar uma prova é uma prova '

Parece que me lembro de ter lido há muito tempo um relato popular de como os físicos lidam com um problema análogo. Quem sabe o quão precisa é a seguinte versão; correções são bem vindas. Mas achei a estratégia subjacente bastante notável.

Eles explicaram como chegaram a acreditar em buracos negros. Os buracos negros eram inicialmente construções puramente matemáticas, como outros objetos estranhos na física, como buracos de minhoca. A estratégia deles era impressionante: eles jogavam matematicamente outros objetos no objeto a ser testado. Buracos de minhoca falharam em seus testes porque descobriram que o buraco de minhoca entraria em colapso mesmo na presença de um objeto físico normal, talvez um asteróide. Mas os buracos negros passaram neste teste: o buraco negro sobreviveria com um asteróide jogado nele. Então eles tentaram jogar uma estrela nele. Mesmo resultado. Finalmente, eles jogaram outro buraco negro no buraco negro e ele sobreviveu. Como resultado disso, eles cresceram confiantes o suficiente na existência de buracos negros para realmente começar a procurá-los no universo real.

Portanto, a relevância e a aplicação da estratégia acima é começar a jogar as coisas à sua prova. Sobrevive às verificações de sanidade ? Se você remover uma suposição necessária, ela entra em colapso como deveria? Ele entra em colapso como deveria quando aplicado a casos fora de seu escopo? Suporta generalizações e especializações razoáveis? Dê uma olhada na lista de heurísticas em Como resolvê-lo . Tente alterar sua prova com essas heurísticas e veja se ela permanece e cai como deveria.

Eu acho que uma das abordagens mais seguras é apresentar várias provas independentes. Então você pode ter certeza de que seu resultado principal está correto, mesmo se você cometer algum erro em alguns detalhes de uma prova.

Uma técnica que achei útil é pensar em quais outros resultados a estratégia de prova seria capaz de provar. Se eu sou capaz de adaptar facilmente a estratégia de prova para provar um grande problema em aberto ou mesmo um problema que não está aberto, mas que tem uma solução muito complicada em comparação com a complexidade da estratégia de prova, é um grande motivo para duvidar a prova.

Sempre reviso minhas provas com um verificador de provas como COQ ou ISABELLE . Se você pode provar sua prova em qualquer uma dessas linguagens de programação, pode ter certeza de que está correta. Tão simples quanto um termo lambda;).