Restringindo entradas de operadores unitários em números reais e conjuntos de portas universais

No papel seminal de Bernstein e Vazirani "Quantum Teoria da Complexidade", eles mostram que um transformação unitária dimensional pode ser eficientemente aproximada por um produto do que eles chamam de "rotações quase trivial" e "mudanças de fase quase trivial".$d$

"Perto trivial rotações" são -dimensional unitária matrizes que actuam como a identidade em todas as dimensões, mas 2, mas actuam como uma rotação no plano gerado por estas duas dimensões (isto é, tem uma submatriz 2x2 da forma:$d$

$\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{pmatrix}$

para alguns ).$\theta$

"Deslocamentos de fase Perto triviais" são -dimensional unitária matrizes que actuam como a identidade em todos, mas uma dimensão, mas aplicar um factor de e i θ para alguns θ para que uma dimensão.$d$$e^{i\theta}$$\theta$

Além disso, eles mostram que apenas um ângulo de rotação é necessário (tanto para os unitários de rotação quanto de mudança de fase), dado que o ângulo é um múltiplo irracional de (BV define o ângulo para 2 π ∑ ∞ j = 1 2 - 2 j .$2\pi$$2\pi\sum_{j=1}^{\infty}{2^{-2^j}}$

Papéis subsequentes sobre teoria quântica complexidade (como que por Adleman et al ou Fortnow e Rogers) afirmam que o resultado BV implica que a computação quântica universal pode ser conseguido com operadores unitários cujas entradas estão em .$\mathbb{R}$

Como isso segue? Eu posso entender que um produto de matrizes de rotação quase triviais fornecerá uma matriz unitária com entradas reais, mas e as matrizes de mudança de fase?

Ou seja: se você é capaz de executar rotações quase triviais e matrizes de mudança de fase nas quais as entradas da matriz são , podemos aproximar eficientemente todas as outras matrizes de mudança de fase?$0,\pm 1$

Suspeito que essa implicação não seja imediatamente óbvia, e a prova apropriada seria semelhante à prova de que o portão tipo Toffoli de Deutsch é universal - ou estou perdendo algo muito óbvio?

Existe uma prova simples de que Toffoli e Hadamard são Quantum Universal de Dorit Aharonov, que primeiro mostra como amplitudes complexas podem ser simuladas por amplitudes reais em amplitudes reais em um espaço maior de Hilbert com mais um qubit.

$U$$k$$\tilde{U}$$k$$\tilde{U}$

$\tilde{U}|i\rangle |0\rangle = [Re(U)|i\rangle]|0\rangle + [Im(U)|i\rangle]|1\rangle$
$\tilde{U}|i\rangle |1\rangle = -[Im(U)|i\rangle]|0\rangle + [Re(U)|i\rangle]|1\rangle$

$\{0,1,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\}$

Além do artigo que Martin apontou, havia um artigo anterior de Terry Rudolph e Lov Grover mostrando que um portão de 2 rebites é universal para a computação quântica (consulte quant-ph / 0210187 ). O portão possui todas as entradas reais e, no caso de você não ter conhecimento de rebits, são qubits em que as amplitudes são restritas a números reais. Essa pode ser a fonte da reivindicação. O portão em questão descrito no artigo é uma rotação Y controlada.

$G(\theta) = Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12} Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12}$