Existe uma teoria da complexidade análoga ao teorema de Rice na teoria da computabilidade?

O teorema de Rice afirma que todas as propriedades não triviais do conjunto reconhecidas por alguma máquina de Turing são indecidíveis.

Estou procurando pelo teorema do tipo Rice, teórico da complexidade, que nos diz quais propriedades não triviais dos conjuntos NP são intratáveis.

Provar uma versão teórica dessa complexidade do Teorema de Rice foi uma motivação para eu estudar a ofuscação do programa.

O teorema de Rice diz, em essência, que é difícil entender as funções que os programas computam, dado o programa. No entanto, a razão pela qual esses problemas são indecidíveis é que são infinitos. Mesmo em uma entrada, um programa pode nunca parar, e precisamos considerar o que o programa faz em infinitas entradas.

Uma versão financeira do teorema de Rice fixaria o tamanho da entrada e o tempo de execução de um programa, e diria que o programa é difícil de entender. Depois de corrigi-los, você poderá visualizar o programa como um circuito booleano. Quais propriedades da função calculada por um circuito booleano são difíceis de calcular? Um exemplo é `` nem sempre 0 '', que são os problemas de satisfação do NP-completo. Mas, diferentemente do Teorema de Rice, existem algumas propriedades que não são triviais, mas fáceis, mesmo sem entender o circuito. Sempre podemos saber que: a função calculada por um circuito tem uma complexidade de circuitos limitados (o tamanho do circuito). Além disso, sempre podemos avaliar o circuito nas entradas de nossa escolha.

Digamos que uma propriedade de seja fácil com o acesso à caixa preta, se puder ser computada, d em tempo polinomial probabilístico por um algoritmo que obtém como entrada n , um limite para | C | e acesso oráculo para f C . Por exemplo, a satisfação não é fácil com o acesso à caixa preta, porque poderíamos imaginar um circuito de tamanho n que só produz resposta 1 em uma entrada x escolhida aleatoriamente . Nenhum algoritmo de caixa preta poderia distinguir um circuito daquele que sempre retornava 0, pois a probabilidade de consultar o oráculo em x é exponencialmente pequena. Por outro lado, a propriedade f ( 0..0 $f_C$$n$$|C|$$f_C$$n$$x$$x$ é fácil na caixa preta. A questão é: existem propriedades de f C que são determináveis ​​no tempo polinomial probabilístico que não são fáceis com o acesso à caixa preta?$f(0..0)=1$$f_C$

Embora esta questão esteja aberta até onde eu saiba, nossa abordagem pretendida foi descartada. Esperávamos provar isso, mostrando que a ofuscação do programa criptograficamente segura era possível. No entanto, Boaz provou o contrário: que era impossível. Isso mostra implicitamente que o acesso da caixa preta aos circuitos é mais limitado do que o acesso completo à descrição do circuito, mas a prova não é construtiva; portanto, não posso nomear nenhuma propriedade como acima que seja fácil, dada a descrição do circuito, mas não com preto. acesso à caixa. É interessante (pelo menos para mim) se essa propriedade pode ser projetada de maneira reversa a partir de nosso artigo.

Aqui está a referência: Boaz Barak, Oded Goldreich, Russell Impagliazzo, Steven Rudich, Amit Sahai, Salil P. Vadhan, Ke Yang: Sobre a (im) possibilidade de programas ofuscantes. CRYPTO 2001: 1-18

Existem vários teoremas provados ao longo dos anos. Mais recentemente, tem havido esforços para estabelecer teoremas "estilo Rice" para problemas em circuitos. (É natural substituir "máquinas" por "circuitos". Depois de fazer isso, o número total de entradas possíveis fica fixo, para que você não tenha problemas de indecidibilidade.) Duas referências:

Bernd Borchert, Frank Stephan: Procurando um análogo do teorema de Rice na teoria da complexidade dos circuitos. Matemática. Registro. Q. 46 (4): 489-504 (2000)

Lane A. Hemaspaandra, Jörg Rothe: Um segundo passo em direção aos análogos teóricos da complexidade do Teorema de Rice. Theor. Comput. Sci. 244 (1-2): 205-217 (2000)

Aqui está um resultado de exemplo: "Todas as propriedades de contagem apropriadas e não vazias dos circuitos são duras." Você pode ler os documentos para obter definições, mas isso significa aproximadamente que qualquer propriedade, dependendo do número de atribuições satisfatórias para um circuito, é difícil para a classe UP (portanto intratável).

Há também trabalhos mais antigos sobre versões teóricas da complexidade do teorema de Rice, em uma linha diferente. Não estou familiarizado com isso, mas os documentos acima os citam.

$NP$$NP$$NP$