Permanente de uma matriz

Seja uma matriz ou com entradas . Alguém pode me fornecer uma matriz para que ? Qual é o menor explícito conhecido como ? Alguma referência nisso com exemplos explícitos? $A$ $3 \times 3$ $4 \times 4$ $a_{ij}$ $B$ $\operatorname{per}(A) = \det(B)$ $B$ $\operatorname{per}(A) = \det(B)$

Algumas restrições podem ser os seguintes casos:

Capa Apenas linear funcionais são permitidos como entradas de . $(1)$ $B$

Caso $(2)$ Funcionais não lineares são permitidos, desde que cada termo tenha no máximo $O(log(n))$ grau (grau é a soma do grau de variáveis) em que $n$ é o tamanho da matriz envolvida. No nosso caso, até o grau $2$ .

cc.complexity-theory algebraic-complexity permanent

— vs
fonte

@vs Quais são as restrições em ? Se não houver, então é uma matriz com , mas Estou supondo que não é isso que você tinha em mente. Tipicamente um permite que as entradas de ser lineares funções afins das variáveis em .

B

$B$

B = (\begin{matrix} per (A) \end{matrix})

$B = \begin{pmatrix} \operatorname{per}(A)\end{pmatrix}$

1 \times 1

$1 \times 1$

det (B) = per (A)

$\det(B) = \operatorname{per}(A)$

B

$B$

A

$A$

— Tyson Williams

[EDITAR]

Por consistência, troquei as notações de para . $c(n)$ $dc(n)$
Foi perguntado por vs nos comentários se minha resposta generaliza para dimensões mais altas. Ele cria e fornece um limite superior sobre qualquer campo: Veja meu rascunho sobre isso: um limite superior para o problema permanente versus determinante . $d c (n) \leq 2^{n} - 1.$ $dc(n)\le 2^n-1.$

[/EDITAR]

[Um comentário secundário: acho que você poderia editar sua pergunta anterior em vez de criar uma nova.]

Tenho a seguinte resposta para você:

per (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}) = det (\begin{matrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\operatorname{per}\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}= \det\begin{pmatrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Observe que, procurando essas referências sobre exemplos explícitos, não consegui encontrar nenhum e, portanto, o exemplo que dou é um exemplo que eu criei.

Esta pergunta que você está fazendo é comumente chamada de "Problema permanente versus determinante". Suponha-se que tenham a da matriz , e que quer a menor matriz de tal modo que . Denotemos por as dimensões do menor tal . Aqui estão os resultados históricos: $(n\times n)$ $A$ $B$ $\operatorname{per} A=\det B$ $dc(n)$ $B$

[Szegö 1913] $dc(n)\ge n+1$
[von zur Gathen 1986] $dc(n)\ge n\sqrt 2-6\sqrt n$
[Cai 1990] $dc(n)\ge n\sqrt 2$
[Mignon & Ressayre 2004] 2/2 na característica $dc(n)\ge n^2/2$ $0$
[Cai, Chen & Li 2008] na característica . $dc(n)\ge n^2/2$ $\neq 2$

Isso mostra que (o limite superior é a matriz dada acima). $5\le dc(3)\le 7$

Como sou preguiçoso, apenas lhe dou uma referência onde você pode encontrar as outras. É o artigo mais recente que citei, por Cai, Chen e Li: Um limite inferior quadrático para o problema permanente e determinante sobre qualquer característica $\neq 2$ .

Se você lê francês, também pode dar uma olhada nos meus slides sobre este assunto: Permanente versus Déterminant .

— Bruno
fonte

Muito obrigado. Esqueci de mencionar que estava familiarizado com os limites inferiores lineares e quadráticos. Seu exemplo é novo para mim e, é claro, examinarei seus slides franceses :)

— vs

Para converter uma fórmula em um determinante, é um resultado (clássico?) De Valiant em 1979. Explicamos esse resultado em nosso artigo na Seção 2.1 (cf [ arxiv.org/abs/1007.3804] ).

— 1155 Bruno Bruno

Para , observe que há uma constante em O (n2 ^ n) para que 24 não seja o valor correto. No entanto, acho que meu exemplo é melhor do que simplesmente aplicar a fórmula de Ryser + a construção de Valiant. Isso é bastante normal, como se pode imaginar que ir da permanente para a fórmula e depois voltar para o determinante não é a melhor maneira de fazer. Eu não diria que meu exemplo é "melhor que o de Ryser", pois os objetivos não são os mesmos. Observe também que as fórmulas de Glynn's ou Ryser não são tão boas quanto a fórmula trivial para ; elas as vencem apenas assintoticamente.

n = 3

$n=3$

n = 3

$n=3$

— de Bruno

Eu dei uma nova olhada no trabalho de JY Cai. O teorema 3 fornece um limite melhor: .

c (n) \leq O (2^{n})

$c(n)\le O(2^n)$

— Bruno

@ Bruno: excelente resposta!

— Dai Le