Programa GCT de Mulmuley

Às vezes, afirma-se que a Teoria da Complexidade Geométrica de Ketan Mulmuley é o único programa plausível para resolver as questões abertas da teoria da complexidade, como a questão P vs. NP. Houve vários comentários positivos de famosos teóricos da complexidade sobre o programa. Segundo Mulmuley, levará muito tempo para alcançar os resultados desejados. Não é fácil entrar na área para os teóricos da complexidade geral e precisa de esforços consideráveis ​​para lidar com a geometria algébrica e a teoria da representação.

1. Por que o GCT é considerado capaz de resolver P vs. NP? Qual é o valor da reivindicação, caso se espere mais de 100 anos para chegar lá? Quais são suas vantagens para outras abordagens atuais e aquelas que podem aumentar nos próximos 100 anos?

2. Qual é o estado atual do programa?

3. Qual é o próximo objetivo do programa?

4. Houve alguma crítica fundamental ao programa?

Eu preferiria respostas que sejam compreensíveis por um teórico da complexidade geral com o mínimo de experiência em geometria algébrica e teoria da representação assumida.

Como apontado por muitos outros, já foi dito muito sobre muitas dessas perguntas por Mulmuley, Regan e outros. Vou oferecer aqui apenas um breve resumo do que acho que são alguns pontos-chave que ainda não foram mencionados nos comentários.

1. Por que o TCG é considerado plausivelmente capaz de mostrar muitas respostas já foram dadas em outros lugares e nos comentários acima, embora eu ache que ninguém ainda tenha mencionado que parece evitar as barreiras conhecidas (relativização, algebrização, provas naturais ) Quanto ao seu valor - acho que, mesmo que demore 100 anos, aprenderemos algo novo sobre complexidade ao longo do caminho, estudando-a desse ângulo.$P \neq NP$

2. • Algum progresso está sendo feito no entendimento das variedades algébricas, das representações e das questões algorítmicas que surgem no TCG. Os principais pesquisadores que conheço que fizeram trabalhos sobre isso são (em nenhuma ordem específica): P. Burgisser, C. Ikenmeyer, M. Christandl, JM Landsberg, KV Subrahmanyan, J. Blasiak, L. Manivel, N. Ressayre, J. Weyman, V. Popov, N. Kayal, S. Kumar e, é claro, K. Mulmuley e M. Sohoni.

   • Mais concretamente, Burgisser e Ikenmeyer acabaram de apresentar (STOC 2011) alguns limites inferiores modestos na multiplicação de matrizes usando a abordagem GCT ( , em comparação com o atualmente mais conhecido$n^2 + 2$$\frac{3}{2}n^2 +O(n)$

   • N. Kayal tem alguns artigos sobre a questão algorítmica de teste quando um polinômio está na órbita de outro ou é uma projeção de outro. Ele mostra que, em geral, esses problemas são difíceis de NP, mas que, para funções especiais como polinômios simétricos permanentes, determinantes e elementares, esses problemas são decidíveis em P. Este é um passo em direção a algumas das conjecturas de Mulmuley (que certos problemas mais difíceis - decidir órbita encerramento - estão em P para funções especiais, como determinante).

3. Eu não tenho muito mais específico a dizer sobre isso do que a resposta para 2.

4. Até onde eu sei, não houve críticas fundamentais , no sentido de que não vi nenhuma crítica que realmente desacredite o programa de forma alguma. Certamente houve discussões sobre o porquê de tais técnicas serem necessárias, o valor do programa, considerando os longos horizontes esperados, etc., mas eu os caracterizaria mais como uma discussão saudável do que uma crítica fundamental.

Penso que este artigo de Ketan D. Mulmuley responderá pelo menos à pergunta 1 (possivelmente 2) Sobre P vs. NP e Teoria da Complexidade Geométrica