Fórmula mais curta para um CNF monótono de n termos

Uma fórmula CNF monótona com m termos em n variáveis ​​( ) é uma fórmula da forma , em que cada é um OR de algum subconjunto das variáveis e varia de a . f ( x 1 , … , x n ) = ⋀ C i C i x 1 , … , x n i 1 $x_1,\ldots,x_n$$f(x_1,\ldots,x_n) = \bigwedge C_i$$C_i$$x_1,\ldots,x_n$$i$$1$$m$

Por exemplo, é uma fórmula CNF monótona com 2 termos em 4 variáveis.$(x_1 \vee x_3 \vee x_4) \wedge (x_2 \vee x_4)$

Estou procurando a fórmula mais curta (não necessariamente monótona, não necessariamente CNF, qualquer fórmula serve!) No mesmo conjunto de variáveis ​​que representa a mesma função que uma fórmula CNF monótona específica em n variáveis ​​com n termos. (Observe que o número de termos e variáveis ​​é o mesmo.)

Uma maneira óbvia de construir uma fórmula é expandir a definição de CNF fornecida, o que nos dará uma fórmula de tamanho . (Vamos definir o tamanho de uma fórmula como o comprimento da fórmula quando ela é escrita como uma string.) Quero saber se essa é a construção geral mais eficiente ou se, para cada CNF monotônico de n termos, existe uma fórmula do tamanho .o ( n 2$O(n^2)$$o(n^2)$

Eu só quero saber se isso é possível, não estou realmente interessado em um algoritmo. Se isso não for possível, uma função que serve como um contra-exemplo seria ótima. Ponteiros para onde eu posso encontrar uma resposta na literatura também são apreciados.

EDIT: Estou adicionando um exemplo para tornar a coisa mais clara.

Digamos que a fórmula de entrada seja . Esta é uma fórmula monótona de CNF. Uma fórmula mais curta que representa a mesma função é a seguinte: .x 1 ∨ ( x 2 ∧ x $f = (x_1 \vee x_2) \wedge (x_1 \vee x_3) \wedge \ldots \wedge (x_1 \vee x_n)$$x_1 \vee (x_2 \wedge x_3 \wedge \ldots \wedge x_n)$

Você pode obter um limite inferior usando um argumento de contagem: existem CNFs termm em variáveis ​​(isso é fácil, mas requer apenas um pouco de cuidado para verifique se não há excesso de contagem), mas existem fórmulas de (ou mesmo circuitos) de tamanho no máximo . e x p ( n 2 ) n n e x p ( s log s ) $\Omega(n^2/\log n)$$exp(n^2)$ $n$$n$$exp(s \log s)$$s$

Parece que vencer o último fator será difícil, pois exigiria provar um limite quadrático inferior ao tamanho da fórmula, e meu palpite é que as poucas técnicas existentes para isso não são suficientes. pode até ser a resposta certa - pelo menos para o tamanho do circuito - usando alguma técnica semelhante a quatro russos .O ( n 2 / log n $\log n$$O(n^2/\log n)$

Considere que, para qualquer CNF, você pode calcular o conjunto de implicados primos (dos quais qualquer mínimo deve ser um subconjunto), executando o fechamento sob resolução e aplicando a eliminação da subsunção.

No entanto, no caso de qualquer CNF monótono , o fechamento da resolução de é (como não existem literais negativos, não há resolução possível). Portanto, o CNF mínimo é o conjunto de primos implicados, que é precisamente a fórmula que você já possui.F $F$$F$$F$

Claro, suponho que você não queira introduzir novas variáveis.

Se você quiser garantir que você tenha alguma fórmula que tenha termos, como você sugere, a única maneira de conseguir isso é expandir algumas das cláusulas adicionando variáveis ​​ausentes. Qualquer CNF deve ter o mesmo número de literais (a medida tamanho que você sugere que eu acredito) para um fixo e .f $n$$f$$n$