Por que é tão difícil para um computador provar alguma coisa?

Isso pode ser considerado uma pergunta estúpida. Eu não sou formado em ciência da computação (e também não sou formado em matemática), então, desculpe-me se você acha que as seguintes perguntas apresentam algumas suposições errôneas importantes.

Embora haja planos para formalizar o Último Teorema de Fermat (veja esta apresentação ), nunca li ou ouvi dizer que um computador possa provar até um teorema "simples" como o de Pitágoras.

Por que não? Qual é (/ são) a (s) principal (s) dificuldade (s) por trás do estabelecimento de uma prova totalmente autônoma por um computador, auxiliada apenas por alguns "axiomas embutidos"?

Uma segunda pergunta que gostaria de fazer é a seguinte: Por que somos capazes de formalizar muitas provas, enquanto atualmente é impossível para um computador provar por si próprio um teorema? Por que isso é "mais difícil"?

Embora haja planos para formalizar o Último Teorema de Fermat (veja esta apresentação), nunca li ou ouvi dizer que um computador possa provar até um teorema "simples" como o de Pitágoras.

Em 1949, Tarski provou que quase tudo em The Elements se encontra dentro de um fragmento decidível da lógica, quando mostrou a decidibilidade da teoria de primeira ordem dos campos fechados reais. Portanto, o teorema de Pitágoras, em particular, não é muito comentado, porque não é especialmente difícil.

$A$$A$

$A$$B$$A$

Duas dificuldades principais. Incompletude (consulte os Teoremas de Incompletude de Gödel) e o vasto tamanho do espaço de pesquisa (existem muito mais teoremas desinteressantes do que interessantes). Um progresso considerável foi feito usando assistentes de prova ( Coq , Isabelle, Agda, etc.). Com eles, o matemático escreve os teoremas e lemas e o assistente de prova ajuda a encontrar provas e garante que as provas sejam logicamente válidas.

$P$$Q$$P\wedge Q$

Este artigo descreve como o assistente de prova Coq é usado para provar o teorema das quatro cores. A matemática mecanizada ( visão geral ) é uma área do TCS dedicada a (semi) provar automaticamente os teoremas (e, em geral, usar computadores para ajudar matemáticos).

Uma área em que a prova automatizada de tipos de teoremas está causando impacto está na verificação e descoberta de modelos. A verificação de modelo trata de determinar se um determinado sistema satisfaz uma determinada propriedade, enquanto a localização do modelo encontra um sistema para satisfazer uma determinada coleção de propriedades. A ferramenta Alloy emprega verificação de modelo e descoberta de modelo com bom efeito, e é bastante utilizável.