[Editar em 21 de julho de 2011: editei a pergunta para pedir mais exemplos]
Esta pergunta está solicitando uma discussão documentada de ou mais exemplos de uma observação heurística.
Alguns problemas matemáticos que admitem algoritmos eficientes parecem ter natureza convexa. Estou pensando em programas lineares e semi-definidos e em vários problemas combinatórios que se reduzem a esses.
Primeiro, existem outras famílias de problemas que admitem algoritmos eficientes para o caso convexo / conjuntivo? (Eu ficaria particularmente grato por exemplos de procedimentos de decisão para teorias lógicas). Segundo, eu gostaria de receber sugestões de artigos ou seções de artigos que discutem uma opinião como "espreitar sob muitos algoritmos eficientes é uma estrutura convexa".
[Editar, 21 de julho de 2011: adicionado o seguinte.]
Eu gostaria de acrescentar alguns esclarecimentos. Me desculpe por não incluí-los antes. Estou interessado em problemas de decisão lógica. Parece-me que existem procedimentos de decisão eficientes para o fragmento conjuntivo de vários problemas lógicos. Aqui estão dois exemplos.
Os solucionadores eficientes para teorias de primeira ordem sem quantificadores (como solucionadores SMT para igualdade, igualdade com funções não interpretadas, aritmética das diferenças etc.) geralmente têm um solucionador eficiente para o fragmento conjuntivo e usam várias técnicas para lidar com disjunção e negação. Na análise estática de programas, as abstrações comumente usadas (e eficientes) são baseadas em intervalos inteiros, igualdades afins, octógonos ou poliedros. Na abstração baseada em predicados e na verificação do programa, existe algo chamado abstração cartesiana, que é intuitivamente sobre ter conjunções de predicados em vez de combinações booleanas arbitrárias. Todos esses casos parecem-me obter ganhos de eficiência, explorando o fragmento conjuntivo do problema.
O fragmento conjuntivo da teoria de primeira ordem da aritmética linear real pode expressar poliedros convexos. Foi por isso que perguntei originalmente sobre programação convexa.
Estou interessado em conhecer outros problemas ou exemplos em que soluções eficientes (no sentido teórico ou prático) se baseiam em um subproblema convexo ou conjuntivo. Se houver outra condição geral (Suresh mencionou a submodularidade), mencione-a e os problemas cujas soluções exploram essa condição.