Transição de quantum para passeios aleatórios clássicos na linha

Versão rápida

Existem modelos de decoerência para a caminhada quântica na linha de tal forma que nós pode sintonizar a caminhada para se espalhou como para qualquer 1 / 2 ≤ k ≤ 1 ?$\Theta(t^k)$$1/2 \leq k \leq 1$

Motivação

Os passeios aleatórios clássicos são úteis no design de algoritmos, e os passeios aleatórios quânticos provaram ser úteis para criar vários algoritmos quânticos interessantes (às vezes com acelerações exponenciais prováveis ). Assim, é importante entender a diferença entre os passeios aleatórios quânticos e clássicos. Às vezes, a maneira mais fácil de fazer isso é considerar modelos de brinquedos, como caminhadas na linha.

Também existe uma motivação física: é interessante saber como a mecânica quântica se adapta à mecânica clássica. Mas isso não é muito relevante para a história.

Minha motivação pessoal é completamente ortogonal: estou tentando combinar alguns dados experimentais com um modelo que transita sem problemas do quantum para o clássico e é relativamente intuitivo.

fundo

$\Theta(t)$$\Theta({t^{1/2}})$$t$

$\Theta(t^{1/2})$$\Theta(t)$$\Theta(t^{1/2})$) De fato, essa escala foi sugerida como a definição de uma caminhada quântica.

Versão longa da pergunta

$\Theta(t^k)$$1/2 \leq k \leq 1$$f(t)$$f \in \Sigma(g(t))$$f \in O(h(t))$$g(t)$$h(t)$

$t$$t^{\frac{1}{2}}$

$t$$t^2$$t^{\frac{1}{2}}$$t$

No entanto, exatamente o mesmo acontece na metrologia quântica quando o ruído é introduzido, mas pode ser superado para produzir uma escala intermediária (veja, por exemplo, JA Jones et al, Science, 324, 5931 (2009), arXiv: 1103.1219 , arXiv: 1101.2561 , etc.) Uma maneira de conseguir isso é fazendo medições intermediárias.

$T$$t=nT$$\mbox{Var}(x(nT)) = \sum_{i = 1}^n \mbox{Var}(x(T)) = n \mbox{Var}(x(T))$$\mbox{Var}(x(T)) = T^2$$\mbox{Var}(x(t)) = n T^2$$t=nT$$n\propto t^k$$T\propto t^{1-k}$$\mbox{Var}(x(t)) = t^{2-k}$