A contagem de cliques máximas em um gráfico de incomparabilidade é # P-complete?

Essa pergunta é motivada por uma pergunta do MathOverflow de Peng Zhang . Valiant mostrou que contar cliques máximos em um gráfico geral é # P-completo, mas e se restringirmos aos gráficos de incomparabilidade (ou seja, queremos contar os antichains máximos em um posito finito)? Essa questão parece suficientemente natural para eu suspeitar que já tenha sido considerada antes, mas não consegui localizá-la na literatura.

— Timothy Chow
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De acordo com este resumo de "A complexidade da contagem de cortes e da computação da probabilidade de um gráfico ser conectado" (SIAM J. Comput. 12 (1983), pp. 777-788), a contagem de anti-cadeias em uma ordem parcial é # P-completo. Não tenho acesso a este artigo, portanto, não sei dizer se esse resultado cobre o máximo de anti-cadeias ou não.

— mhum
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@ András: Eu acho que o resultado deles é a contagem de antichains (que não são necessariamente máximos). Pode ser fácil ver que a contagem de antichains máximos também é # P-completa, mas não consigo ver.

— Tsuyoshi Ito

@ András: A questão é sobre antichains máximos, não antichains de cardinalidade máxima. Não estudei a redução no artigo, portanto, talvez a redução deles também prove a # P-perfeição de contar antichains máximos ao mesmo tempo, mas pelo menos são problemas diferentes.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: você está certo, o artigo da Provan / Ball mostra apenas que a contagem de antichains de cardinalidade máxima é difícil. De volta à prancheta ...

— András Salamon

Na verdade, se você olhar para a prova, verá que a completude P é comprovada para uma classe de posets em que todos os antichains máximos têm a mesma cardinalidade. Nomeadamente, começar com qualquer bipartido gráfico

com

vértices e construir um gráfico bipartido

com

vértices por adição de

novos vértices

novas arestas

G = (V, E)

$G=(V,E)$

n

$n$

G^{'}

$G'$

2 n

$2n$

n

$n$

{v^{'} : v \in V}

$\{v' : v\in V\}$

n

$n$

. Então, se

é uma bipartição do conjunto de vértices de

, defina um poset em

configurando

são adjacentes em

. Então, isso responde à minha pergunta.

{(v, v^{'}) : v \in V}

$\{(v,v'): v\in V\}$

V_{1}

$V_1$

V_{2}

$V_2$

G^{'}

$G'$

V_{1} \cup V_{2}

$V_1\cup V_2$

x < y

$x<y$

x \in V_{1}

$x\in V_1$

y \in V_{2}

$y\in V_2$

x

$x$

y

$y$

G^{'}

$G'$

— Timothy Chow