Os problemas PRIMES, FACTORING são conhecidos por P-hard?

Deixe o PRIMES (também conhecido como teste de primalidade ) ser o problema:

Dado um número natural , é um número primo? $n$ $n$

Que FACTORING seja o problema:

Dados os números naturais , com , tem um fator com ? $n$ $m$ $1 \leq m \leq n$ $n$ $d$ $1 < d < m$

Sabe-se se o PRIMES é P-hard? Que tal FACTORING? Quais são os limites inferiores mais conhecidos para esses problemas?

— km
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Não, o IIRC está aberto se Primes for P-hard. Eu acho que o mesmo vale para FACTORING.

— Kaveh

Acho que uma pergunta alternativa pode ser: existem consequências para PRIMES ou FACTORING serem difíceis de usar?

— Suresh Venkat

@ Suresh: essa é uma boa pergunta. Você poderia publicá-lo separadamente?

— András Salamon

Na verdade, já foi solicitado o fatoramento

— Suresh Venkat

@ Artigo, eu concordo com András, uma pergunta sobre as consequências da dureza P dos Primes seria interessante. Também editei a pergunta adicionando uma pergunta sobre os limites inferiores mais conhecidos.

— Kaveh

Respostas:

Sabe-se que PRIMES é difícil para . Veja meu artigo com Saks e Shparlinski, " Um limite inferior para a primazia " em JCSS 62 (2001). Nenhuma melhoria nessa frente desde então. $\mathsf{TC^0}$

— Eric Allender
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você sabe se esse resultado de dureza também vale se quisermos apenas

de todos osnúmeros inteiros de

bits a serem fatorados? Afinal, isso ainda pode estar em

certo?

\frac{1}{n}

$\frac1 n$

n

$n$

A C C^{0}

$ACC^0$

— T ....

O fatoramento pode ser obtido usando um circuito quântico de profundidade polilog e ZPP pré e pós-processamento; veja este artigo . Se fosse duro com P, qualquer algoritmo em P poderia ser feito com o circuito quântico de profundidade polilog e as mesmas etapas de pré e pós-processamento. Acredito que essas etapas sejam exponenciação modular e frações contínuas, que para mim parecem improváveis o suficiente para resolver problemas de P-completo, mesmo com a adição de um circuito quântico polilog profundidade. $n$ $n$ $n$

— Peter Shor
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