Problemas fora de P que não são difíceis de P

Ao ler uma resposta de Peter Shor e uma pergunta anterior de Adam Crume , percebi que tenho alguns conceitos errados sobre o que significa ser $\mathsf{P}$ duro.

Um problema é $\mathsf{P}$ difícil se houver algum problema em $\mathsf{P}$ com reduções de $\mathsf{L}$ (ou se você preferir $\mathsf{NC}$ ). Um problema está fora de $\mathsf{P}$ se não existir um algoritmo de tempo polinomial para resolvê-lo. Isso significa que deve haver problemas que estejam fora de $\mathsf{P}$ mas não sejam $\mathsf{P}$ -hard. Se supusermos que FACTORING está fora de $\mathsf{P}$ , a resposta de Peter Shor sugere que FACTORING pode ser um problema.

Existem problemas conhecidos (naturais ou artificiais) que ficam fora de $\mathsf{P}$ mas que não são $\mathsf{P}$ duros? Que tal suposições mais fracas que a suposição de fatoração? Existe um nome para essa classe de complexidade?

cc.complexity-theory complexity-classes

— Artem Kaznatcheev
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Respostas:

Se $\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$ , nenhum conjunto esparso (mesmo um não computável) pode ser $\mathsf{P\text{-}hard}$ .

O equívoco deriva de pensar em classes de complexidade (e problemas computacionais) como criar uma ordem linear que não é verdadeira. Usar a palavra "dureza" para um problema pode ser usado para resolver outros problemas da classe também contribui para o equívoco. Um limite inferior para um problema (por exemplo, não estar em uma classe de complexidade) não implica que o problema seja difícil para a classe (por exemplo, pode ser usado para resolver outros problemas na classe). Não sei se existe uma terminologia alternativa melhor para a "dureza" usada atualmente, uma que foi usada nas décadas anteriores é a "universalidade" (que, IMHO, expressou o conceito com mais fidelidade, e então poderíamos ter usado "dureza" por não estar na classe, mas alterar a terminologia estabelecida é muito difícil).

— Kaveh
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alguns dos diagramas de Euler que eu vi de classes de complexidade também alimentaram o segundo equívoco para mim, que é o que acho que causou minha confusão sobre a dureza X.

— Artem Kaznatcheev

@ Artigo, sim, isso também é um fator. Aqui está o que eu faço na classe: I mencionar a incomparabilidade de e sob reduções, esperando que isso iria ajudar os alunos a evitar pensar que tudo é linearmente ordenado.

\mod p

$\mod p$

\mod q

$\mod q$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— Kaveh

a parte total do pedido com muito menos problemas. Em particular, acho que NP e coNP são bons o suficiente para mostrar que não devemos pensar em classes de complexidade tendo uma ordem total.

— Artem Kaznatcheev

Artigo, bom ponto (embora não possamos provar que eles são diferentes). Eu acho que parte do motivo da terminologia é a falta de limites inferiores razoáveis, não temos um bom limite inferior para o SAT, mas achamos que é difícil resolver porque é universal, mas a palavra "universal" não dê a mesma sensação de dificuldade que o "difícil", especialmente para os não especialistas. Mas isso cria o problema porque, embora se possa argumentar que a universalidade de um problema implica que esse problema é difícil de resolver, a dificuldade de resolver um problema não implica que o problema seja universal.

— Kaveh

isto é, problemas universais são difíceis (pelo menos tão difíceis quanto qualquer problema da classe), mas problemas difíceis não precisam ser universais.

— Kaveh

Eu acho que você pode construir um conjunto não em que não seja -hard por um argumento no estilo Ladner. Aqui está um exemplo específico. $P$ $P$

Em seu artigo "Uma abordagem uniforme para obter conjuntos diagonais em classes de complexidade" (Theor. Comp. Sci. 18, 1982), Schöning prova o seguinte:

Teorema Suponha que , , e são classes de complexidade apresentáveis recursivamente e são fechadas sob variações finitas. Depois, há um conjunto tal que , e se e não for trivial (conjunto vazio ou todas as cadeias), então é polytime, muitos redutíveis a . $A_1 \notin C_1$ $A_2 \notin C_2$ $C_1$ $C_2$ $A$ $A \notin C_1$ $A \notin C_2$ $A_1 \in P$ $A_2$ $A$ $A_2$

Para aplicar este, conjunto para ser o conjunto vazio, e ser -completo sob reduções polytime, definido ser o conjunto de -Hard jogos que estão no , definidos . O conjunto vazio não pode ser -hard (a definição de hardness para um idioma requer que haja pelo menos uma instância no idioma e uma instância que não esteja). definitivamente não está em . O e podem ser verificados para atender às condições acima (semelhante à maneira como Schoening faz para o $A_1$ $A_2$ $EXP$ $C_1$ $P$ $EXP$ $C_2 = P$ $P$ $P$ $A_2$ $C_2$ $C_1$ $C_2$ $NP$ conjuntos completos; veja também esta questão relacionada ). Então temos um que não é um problema -Hard em , e que não está na . Porém, como e não é trivial, é número que pode ser reduzido a um conjunto completo de , portanto está em . Portanto, em particular, também não pode ser duro. $A$ $P$ $EXP$ $A$ $P$ $A_1 \in P$ $A_2$ $A$ $EXP$ $EXP$ $A$ $P$

Na discussão acima, a restrição a problemas -Hard em é necessário para assegurar presentability recursiva, uma vez que os problemas P-disco como um todo são não recursivamente apresentável e nem mesmo contáveis . Agora, exemplos "naturais" disso são uma história diferente ... $P$ $EXP$

— Ryan Williams
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Eu gosto de como este atravessa mesmo se . A menos que eu entenda algo errado.

L = P

$L = P$

— Artem Kaznatcheev

@ Artigo: Se você considerar a dureza sob redutibilidade do espaço de log, cada idioma não trivial é L-hard. Portanto, se L = P, não há idiomas fora de P são P-hard sob redutibilidade do espaço de log.

— Tsuyoshi Ito

Outra maneira de gerar problemas que estão fora de P, mas que não são difíceis de P, é resolver problemas completos para classes incomparáveis com P. Digamos que uma classe X seja incomparável com P, no sentido de que nenhum é um subconjunto da outra. Então, um problema com X completo está necessariamente fora de P (caso contrário, P incluiria X) e não é difícil com P (caso contrário, X incluiria P).

Tentei pensar em algumas classes incomparáveis com P, mas P é uma classe bastante robusta, portanto, não existem muitas dessas classes. Por exemplo, RNC e QNC podem ser incomparáveis com P. DSPACE ( ) também podem ser incomparáveis com P. PolyL é incomparável com P, mas não apresenta problemas completos nas reduções do espaço de log. $\log^2$

— Robin Kothari
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Na minha opinião, essa é quase a mesma pergunta formulada de maneira diferente, e não é necessariamente uma maneira de responder à pergunta. De fato, a linguagem A não está nem em P nem em difícil se P e somente se a classe de idiomas redutível a A for incomparável com P (use sua noção favorita de redutibilidade). Quanto à questão atual, acho que é mais provável que seja útil na direção oposta; isto é, é outra maneira de interpretar as respostas para a pergunta atual.

— Tsuyoshi Ito