Mesclando listas de objetos frágeis

Antecedentes: Chao Xu postou a seguinte pergunta há algum tempo: " Existe algum algoritmo de classificação de comparação conhecido que não se reduz a redes de classificação, de modo que cada elemento seja comparado vezes? $O(\log n)$ ". Parece que estamos um pouco presos ao problema; Discuti o mesmo problema com Valentin Polishchuk em 2009 e não chegamos a lugar algum.

Para obter algumas idéias novas, tentei formular a pergunta mais simples possível, com um sabor semelhante e que não é completamente trivial. Daí a seguinte pergunta.

Pergunta: Você recebe duas listas classificadas, cada uma delas com elementos. Você pode mesclar as listas para que cada elemento seja comparado apenas vezes? $n$ $O(1)$

Naturalmente, a saída deve ser uma lista classificada que contenha todos os elementos . $2n$

[Isso acabou sendo trivial, a resposta é "não".]

Pergunta 2: Você recebe duas listas classificadas, cada uma delas com elementos. Você pode mesclar as listas para que cada elemento seja comparado apenas vezes, se você puder descartar uma pequena fração de elementos ? $n$ $O(1)$

Mais precisamente, a saída deve ser uma lista classificada que contém elementos e uma "lixeira" que contém elementos . Quão pequeno você pode fazer o valor ? Obter é trivial. Algo como deve ser factível de maneira direta. Mas você pode obter ? $2n-T(n)$ $T(n)$ $T(n)$ $T(n) = n$ $T(n) = n/100$ $T(n) = o(n)$

Notas:

Nós usamos o modelo de comparação aqui. Somente algoritmos determinísticos, estamos interessados nas piores garantias.
Observe que ambas as listas possuem exatamente elementos. Se tivéssemos uma lista com elementos e outra com elemento, a resposta é claramente "não"; no entanto, se as duas listas forem longas, parece que alguém poderá fazer algum "balanceamento de carga". $n$ $n$ $1$
Desta vez, qualquer tipo de algoritmo é válido. Se o seu algoritmo usa redes de classificação como um componente básico, está perfeitamente correto.
Para um ponto de partida, aqui está um algoritmo simples que compara cada elemento no máximo 200 vezes: basta usar o algoritmo de mesclagem padrão, mas mantenha os contadores para os cabeçalhos das listas. Quando chegar a 200, descarte o elemento. Agora, para cada elemento que você descarta, você colocou com sucesso 200 elementos em sua matriz de saída. Portanto, você atingiu . $T(n) = n/100$

ds.algorithms sorting sorting-network

— Jukka Suomela
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Você disse que "se tivéssemos uma lista com n elementos e outra com 1 elemento, a resposta é claramente não". O caso com n elementos em cada lista não é um problema mais geral? Por exemplo, se formos prometidos que todos os elementos da segunda lista, exceto o primeiro, são muito maiores que todos os elementos da primeira lista, isso não se reduz ao primeiro problema?

— Robin Kothari

@Robin: Certo, então não consegui fazer uma pergunta não trivial, obrigado. Sua observação parece dar um

limite inferior se insistirmos em tertodos oselementos ordenados. Deixe-me aumentar ligeiramente a pergunta ...

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$

— Jukka Suomela

E, no caso de alguém se perguntar qual é o sentido da definição aparentemente estranha na Questão 2: se pudermos tornar

muito pequeno, talvez possamos usar algo como o tipo de mesclagem para quase resolver o problema original e nos preocupar com uma pequena fração de elementos na lixeira mais tarde.

T (n)

$T(n)$

— Jukka Suomela

Não, esse algoritmo não pode existir.

Assumem comparações por elemento são permitidos. $t$

Para começar, considere a situação de mesclar duas listas, uma de tamanho um e outra de tamanho $2^t$ $2^t+1$ $t+1$

A partir disso, é fácil construir uma instância com duas listas de tamanho que consiste em $n$ $n/2^t$ $n/2^t$

$t$ $o(n)$

Em uma nota lateral, parece que é possível corresponder a esse limite por um algoritmo em que cada elemento é comparado com aproximadamente o log do tamanho da parte circundante da outra lista. Se isso for interessante, tentarei descobrir os detalhes.

— Riko Jacob
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