FPT vs W [P] - Complexidade parametrizada

Na complexidade parametrizada, . É conjecturado que cada uma das contenções é adequada. $\mathsf{FPT} \subseteq \mathsf{W}[1]$ $\subseteq \mathsf{W}[2]$ $\subseteq \ldots \subseteq \mathsf{W}[P]$

Se então . $\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[P]$ $\mathsf{P}=\mathsf{W}[P]$

Mas segue que

Se então ? ou $\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[1]$ $\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[P]$
Se (para alguns t), então ? $\mathsf{W}[t-1]=\mathsf{W}[t]$ $\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[P]$

cc.complexity-theory parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— Uéverton dos santos souza
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O que significa a notação "W []"?

— Tyson Williams

A segunda pergunta significa "para todos os t" ou "para alguns t"?

— Yoshio Okamoto

A segunda pergunta significa "para alguns t"

— Uéverton dos santos souza

Você não está sendo um questionador útil. Você não incluiu definição ou links para a hierarquia W, mesmo que alguém tenha perguntado sobre isso. A resposta para suas perguntas é provavelmente "ambas estão abertas", devido à caracterização da hierarquia W como famílias de circuitos AC0 modificados - um colapso da hierarquia W implicaria um colapso da complexidade do circuito. (Isso é considerado uma evidência de que todos os níveis da hierarquia W são um subconjunto adequado do próximo.) Mas eu precisaria verificar algumas coisas para postar uma resposta (não minha área) e você não está levando a questão a sério.

— Aaron Sterling

Um problema parametrizado (L, K) pertence a W [t] se existe k 'calculado a partir de k, de modo que (L, K) reduz o problema de satisfação do peso-k' para circuitos de trama-t. [Downey, 1997] [Downey, 1997] Rodney G. Downey, Michael R. Fellows, Kenneth W. Regan; Série de Relatórios de Pesquisa Complexidade de Circuitos Parametrizados e Hierarquia W; Centro de Matemática Discreta e Ciência da Computação Teórica; 1997.

— Uéverton dos santos souza

Essa pergunta é complicada, pois a resposta (até onde eu sei) ainda é "não sei".

Para acrescentar algum peso a isso, Flum & Grohe [1] apresentam como problemas em aberto (p. 164):

A hierarquia é estrita sob a suposição ? $\mathrm{W}$ $\mathrm{FPT} \neq \mathrm{W[P]}$

Para , a igualdade implica ? $t \geq 1$ $\mathrm{W}[t] = \mathrm{W}[t + 1]$ $\mathrm{W}[t] = \mathrm{W}[t + 2]$

Além disso, na recente monografia de Downey e Fellow [2], a declaração mais forte (direta) que eles fazem é (p. 521):

Uma hipótese mais sutil é que a hierarquia é adequada e, em particular, . $\mathrm{W}$ $\mathrm{W}[1] \neq \mathrm{W}[2]$

Não há nenhuma declaração a seguir (ou posterior) ao longo das linhas "caso contrário, a hierarquia entraria em colapso" ou similar. $\mathrm{W}$

Isso também é precedido por:

Uma hipótese mais fraca pode ser que, para alguns , $t$
$F P T \neq W [t]$ $\mathrm{FPT} \neq \mathrm{W}[t]$

Isso implica que é possível que não tenha outros efeitos na hierarquia. $\mathrm{FPT} = \mathrm{W}[t-1]$

Referências:

J. Flum e M. Grohe, "Parameterized Complexity Theory", Springer, 2006.
R. Downey e M. Fellows, "Fundamentos da teoria da complexidade parametrizada", Springer, 2014.

— Luke Mathieson
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