Consequências da

Sabemos que se , todo o PH entra em colapso. E se a hierarquia polinomial entrar em colapso parcial? (Ou como entender que o PH poderia entrar em colapso acima de um certo ponto e não abaixo?)$P=NP$

Em palavras, quais seriam as consequências de e ?P ≠ N $NP=coNP$$P\ne NP$

Para mim, uma das conseqüências mais básicas e surpreendentes de é a existência de provas curtas para toda uma série de problemas em que é muito difícil ver por que eles deveriam ter provas curtas. (Isso é como dar um passo atrás de "Que outras implicações de complexidade esse colapso tem?" Para "Quais são as razões básicas e práticas que esse colapso seria surpreendente?")$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

Por exemplo, se , em seguida, para cada gráfico que não é Hamiltoniano, existe uma pequena prova de que fato. Da mesma forma, para gráficos que não são de 3 cores. Da mesma forma, para pares de gráficos que não são isomórficos. Da mesma forma para qualquer tautologia proposicional .$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

Em um mundo em que , a dificuldade em provar tautologias proposicionais não é que algumas tautologias curtas tenham provas longas - porque nesse mundo toda tautologia tem uma prova polinomialmente curta - mas sim que há algumas outro motivo pelo qual não conseguimos encontrar essas provas com eficiência.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$

Se também assumirmos , a hipótese também causaria o colapso de classes aleatórias:$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$ . Embora todos sejam conjecturados para entrar em colapso incondicionalmente em P , ainda está em aberto se isso realmente acontece. Em qualquer caso, N P = C O N P não parecem implicar em si mesmo que estas classes randomizados colapso.$\,\,\mathsf{ZPP}=\mathsf{RP}=\mathsf{CoRP}=\mathsf{BPP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$

Se não tiverem, ou seja, temos pelo menos , então, junto apenas com a hipótese N P = c o N P , isso teria outra consequência importante:$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$ . Isto decorre de um resultado de BABAI, Fortnow, Nissan e Wigderson, que diz que, se todos os (Tally) linguagem unária em P H cair em P , então B P P = P . Assim, se B P P ≠ P , então eles podem não toda a queda em P , como o N P = C O N P pressuposto implica P H = N P . Portanto, deve haver uma linguagem de registro em N P - $\,\,\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}=\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}=\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$. Finalmente, a presença de uma linguagem de contagem em é bem conhecido para implicar E ≠ N E .$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$

As mostras de raciocínio acima do efeito interessante que o hipótese de, apesar de ser um colapso, na verdade, amplifica a separação poder de B P P ≠ P , como este último por si só não é conhecido implicar E ≠ N E . Esta "anomalia" parece apoiar a conjectura B P P = P .$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{BPP}= \mathsf{P}$

Há duas definições para a contagem aulas além . Um foi definido por Valiant e o outro por Toda.${\bf \#P}$

Para qualquer classeC, definir#C=∪ Um ∈ C (#P) A , em que( # P A), as funções contando os caminhos aceitáveis ​​das máquinas de Turing de tempo polinomial não determinístico comAcomo seu oráculo.${ \rm \underline {Valiant's-Definition:}}$$C$$\#C =\cup_{A\in C}(\#P)^{A}$$({\#P}^A)$$A$

Pela definição de Valiant, já temos ${\bf \#NP} = {\bf \#CoNP}$

Para qualquer classeC, definir#. Cser a classe de funçõesftal que para algunsC-computável com dois argumentos predicadoRe alguns polinomialp, para cada cordaxque afirma que:f(x)=| | {y| p(${ \rm \underline {Toda's-Definition:}}$$C$$\# .C$$f$$C-$$R$$p$$x$e R ( x , y ) } | | .$f(x)=||\{y|p(|x|)=|y|$$R(x,y)\}||$

Pela definição de Toda, temos se e somente se N P = C O N P .${\bf \#.NP} = {\bf \#.CoNP}$${\bf NP} = {\bf CoNP}$

Então, se nós também assumimos que então teríamos F P ≠ # P .${\bf P}\not = {\bf NP}$${\bf FP} \not = {\bf \# P}$

Ker-i Ko Mostrou que existe um oráculo que faz o colapso do PH no k-ésimo nível. Ver "Ker-I Ko: Hierarquias Polinomiais Relativizadas do Tempo com Níveis Exatamente K. SIAM J. Comput. 18 (2): 392-408 (1989)".