Fórmulas mínimas insatisfatórias de 3-CNF

Atualmente, estou interessado em obter (ou construir) e estudar fórmulas de 3-CNF insatisfatórias e de tamanho mínimo. Ou seja, eles devem consistir no menor número possível de cláusulas (m = 8) e no menor número possível de variáveis ​​distintas (n = 4 ou mais), de modo que a remoção de pelo menos uma cláusula torne a fórmula satisfatória.

Mais formalmente, qualquer fórmula 3-CNF F qualificada deve atender às seguintes condições:

1. F é insatisfatório
2. F tem uma quantidade mínima (4+) de variáveis ​​distintas (ou sua negação)
3. F tem uma quantidade mínima de cláusulas (8+)
4. todo subconjunto apropriado de F é satisfatório (permitindo a remoção de qualquer cláusula ou cláusula arbitrária).
5. F não possui 2 cláusulas redutíveis a uma cláusula 2-CNF, por exemplo, (i, j, k) & (i, j, ~k)NÃO é permitido (elas se reduzem a (i,j))

Por exemplo, com n = 4, existem muitas fórmulas mínimas de 3-CNF de 8 cláusulas que são insatisfatórias. Por um lado, olhando o hipercubo 4 e tentando cobri-lo com bordas (2 faces), é possível construir a seguinte fórmula insatisfatória:

1. (~A,  B,  D)
2. (~B,  C,  D)
3. ( A, ~C   D)
4. ( A, ~B, ~D)
5. ( B, ~C, ~D)
6. (~A,  C, ~D)
7. ( A,  B,  C)
8. (~A, ~B, ~C)

Isso se qualifica como uma fórmula 3-CNF mínima insatisfatória porque:

1. É insatisfatório:

   • As cláusulas 1-3 são equivalentes a: D or A=B=C
   • As cláusulas 4-6 são equivalentes a: ~D or A=B=C
   • Elas implicam A=B=C, mas pelas cláusulas 7 e 8, isso é uma contradição.

2. Existem apenas 4 variáveis ​​distintas.

3. Existem apenas 8 cláusulas.
4. A remoção de qualquer cláusula a torna satisfatória.
5. Nenhuma cláusula 2 é 'redutível' a uma cláusula 2-CNF.

Então, acho que minhas perguntas gerais aqui são, em ordem de importância para mim:

1. Quais são algumas outras pequenas fórmulas mínimas que atendem às condições acima? (ou seja, 4,5,6 variáveis ​​e 8,9,10 cláusulas)

2. Existe algum tipo de banco de dados ou "atlas" dessas fórmulas mínimas?

3. Quais algoritmos não aleatórios existem para construí-los totalmente, se houver?

4. Quais são algumas idéias sobre as características dessas fórmulas? Eles podem ser contados ou estimados, considerando n (# variáveis) e m (# cláusulas)?

Agradeço desde já pelas suas respostas. Congratulo-me com qualquer resposta ou comentário.

$\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot C$$2$

$\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot E$
$\lnot B \lor \lnot C \lor E$

$n=5$$m=9$

$l_1 \lor l_2 \lor l_3$$2$

$l_1 \lor l_2 \lor v$
$l_2 \lor l_3 \lor \lnot v$

$v$$n$$m$$1$$r=\frac{m}{n}$$1$$n$$r=1$

Acredito que a condição número 5 não é realmente mantida no seu exemplo e nunca pode ser mantida.
Que as seguintes cláusulas sejam equivalentes:

( p, q) = (~A,B,D)(A,~B,~D)

O que nos permitirá mapear as cláusulas de A, B, C e D para novas variáveis ​​p, q, re es como a seguinte tabela de verdade:

A B C D | p q r s
-----------------
0 0 0 0 | 0 1 0 0
0 0 0 1 | 0 1 0 1
0 0 1 0 | 0 1 1 0
0 0 1 1 | 0 1 1 1
-----------------
0 1 0 0 | 1 0 0 0
0 1 0 1 | 0 0 0 0
0 1 1 0 | 1 0 0 1
0 1 1 1 | 0 0 0 1
-----------------
1 0 0 0 | 0 0 1 0
1 0 0 1 | 1 0 1 0
1 0 1 0 | 0 0 1 1
1 0 1 1 | 1 0 1 1
-----------------
1 1 0 0 | 1 1 0 0
1 1 0 1 | 1 1 0 1
1 1 1 0 | 1 1 1 0
1 1 1 1 | 1 1 1 1
-----------------

E agora podemos expressar as cláusulas de A, B, C e D em termos de p, q, re s:

1. (~A,  B,  D) = ( p, q,~r, s)( p, q,~r,~s)
2. (~B,  C,  D) = (~p, q, r, s)(~p,~q, r, s)
3. ( A, ~C   D) = ( p,~q,~r, s)(~p, q, r,~s)
4. ( A, ~B, ~D) = ( p, q, r, s)( p, q, r,~s)
5. ( B, ~C, ~D) = ( p,~q,~r,~s)(~p, q,~r,~s)
6. (~A,  C, ~D) = (~p, q,~r, s)(~p,~q, r,~s)
7. ( A,  B,  C) = ( p,~q, r, s)( p,~q, r,~s)
8. (~A, ~B, ~C) = (~p,~q,~r, s)(~p,~q,~r,~s)

Como todas as cláusulas são mostradas e associadas às cláusulas A, B, C e D. Então, podemos afirmar que as cláusulas p, q, re es podem ser reduzidas a:

( p, q, r)
( p, q,~r)
( p,~q, r)
( p,~q,~r)
(~p, q, r)
(~p, q,~r)
(~p,~q, r)
(~p,~q,~r)

O que obviamente viola a condição número 5.

O que quero ressaltar é que mesmo o exemplo não mostra explicitamente que existem 2 cláusulas que podem ser reduzidas a 2-CNF, mas implicitamente é has (por exemplo (~ A, B, D) e (A, ~ B, ~ D)), talvez você não consiga expressar o 2-CNF com as variáveis ​​especificadas, mas quando introduzir um mapeamento diferente para o problema, poderá expressá-las.