Suponha que seja uma linguagem booleana, de seqüências finitas acima de { 0 , 1 } . Seja L n o número de strings em L com comprimento n . Para uma função d ( n ) dos números inteiros positivos aos números reais positivos, L tem densidade superior d ( n ) se L n ≤ 2 n d ( n ) para todo n suficientemente grande .
Algum idioma booleano completo com P possui densidade superior ?
Motivação
Paridade tem densidade superior . SIM (o idioma de todas as seqüências binárias finitas) possui densidade superior 1. Qualquer idioma finito possui densidade superior 0.
Uma linguagem esparsa tem a propriedade de que existe um polinômio p ( n ) tal que L n - L n - 1 ≤ p ( n ) para todos os n . Se L é uma linguagem esparsa, então L n ≤ p 1 ( n ) para um polinômio p 1 de grau um maior que o de p , portanto a densidade superior de L é zero.
Jin-Yi Cai e D. Sivakumar mostraram que uma linguagem P-completa não pode ser esparsa, a menos que P = L (= LOGSPACE). Como P = co-P, qualquer idioma do qual o complemento é escasso também não pode ser P-completo, a menos que P = L.
Por uma desigualdade simples (ver, por exemplo, Corollary 2 de Rosser e Schoenfeld 1962 ), o PRIMES tem densidade superior . Pergunta Os problemas PRIMES, FACTORING são conhecidos por P-hard? discute se o PRIMES é difícil (isso parece estar aberto atualmente).
Em certo sentido, as linguagens completas (ou universais) para uma classe de complexidade contêm toda a estrutura da classe. Portanto, minha hipótese experimental, baseada em uma extrapolação selvagem do resultado de Cai e Sivakumar, seria que tais idiomas não podem ser muito esparsos. O limite polinomial usual que define as linguagens esparsas parece muito restritivo, por isso estou perguntando sobre um limite um pouco menos restritivo.
O trabalho sobre lowness de Fortnow, Hemaspaandra e outros também está possivelmente relacionado.
Reconhecimentos
Veja também a pergunta relacionada Densidade condicional dos números primos . Agradecemos a @Tsuyoshi Ito e @Kaveh pelos comentários úteis sobre uma versão anterior desta pergunta, que infelizmente foi mal posta.