Densidade de idiomas P completos


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Suponha que seja uma linguagem booleana, de seqüências finitas acima de { 0 , 1 } . Seja L n o número de strings em L com comprimento n . Para uma função d ( n ) dos números inteiros positivos aos números reais positivos, L tem densidade superior d ( n ) se L n2 n d ( n ) para todo n suficientemente grande .L{0,1}LnLnd(n)L d(n)Ln2nd(n)n

Algum idioma booleano completo com P possui densidade superior ?O(1/n)

Motivação

  1. Paridade tem densidade superior . SIM (o idioma de todas as seqüências binárias finitas) possui densidade superior 1. Qualquer idioma finito possui densidade superior 0.1/2

  2. Uma linguagem esparsa tem a propriedade de que existe um polinômio p ( n ) tal que L n - L n - 1p ( n ) para todos os n . Se L é uma linguagem esparsa, então L np 1 ( n ) para um polinômio p 1 de grau um maior que o de p , portanto a densidade superior de L é zero.Lp(n)LnLn1p(n)nLLnp1(n)p1pL

  3. Jin-Yi Cai e D. Sivakumar mostraram que uma linguagem P-completa não pode ser esparsa, a menos que P = L (= LOGSPACE). Como P = co-P, qualquer idioma do qual o complemento é escasso também não pode ser P-completo, a menos que P = L.

  4. Por uma desigualdade simples (ver, por exemplo, Corollary 2 de Rosser e Schoenfeld 1962 ), o PRIMES tem densidade superior . Pergunta Os problemas PRIMES, FACTORING são conhecidos por P-hard? discute se o PRIMES é difícil (isso parece estar aberto atualmente).(log2e)/n

  5. Em certo sentido, as linguagens completas (ou universais) para uma classe de complexidade contêm toda a estrutura da classe. Portanto, minha hipótese experimental, baseada em uma extrapolação selvagem do resultado de Cai e Sivakumar, seria que tais idiomas não podem ser muito esparsos. O limite polinomial usual que define as linguagens esparsas parece muito restritivo, por isso estou perguntando sobre um limite um pouco menos restritivo.

O trabalho sobre lowness de Fortnow, Hemaspaandra e outros também está possivelmente relacionado.

k

Reconhecimentos

Veja também a pergunta relacionada Densidade condicional dos números primos . Agradecemos a @Tsuyoshi Ito e @Kaveh pelos comentários úteis sobre uma versão anterior desta pergunta, que infelizmente foi mal posta.


2n/n

Respostas:


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1/n

Ln{0,1}nd(n)ω(1/n)Ln+m={x0m|xLn}mnLLk=kn+mL

d(n+m)=|Ln+m|2n+m=|Ln|2n+md(n)2m

MLMLxnm(n)m(n)poly(n)

1/nm(n)=nd(2n)d(n)/2nO(1/n)


mn1/logn

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Acho que sim, você precisaria apenas de m = log log n. Em geral, para m = f (n), você pode escolher qualquer f que esteja no espaço LOG (com n em unário). (ou NC, se você preferir essas reduções).
Artem Kaznatcheev
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