Codificação rápida de vetores balanceados

É fácil ver que para qualquer existe um mapeamento 1-1 de {0,1} a {0,1} modo que, para qualquer o vetor é " equilibrado ", ou seja, possui número igual de 1s e 0s. É possível definir tal para que, dado , possamos calcular eficientemente? $n$ $F$ $^n$ $^{n+O(\log n)}$ $x$ $F(x)$ $F$ $x$ $F(x)$

Obrigado.

ds.algorithms ds.data-structures encoding

— Piotr
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Suponho que por 'eficiente' você queira dizer O (n) ou o que está por aí, descartando o argumento de "ensaios aleatórios repetidos"?

— Suresh Venkat

@Suresh, você seria capaz de esboçar o argumento de "ensaios aleatórios repetidos"?

— Emil

Uma maneira de provar que o mapeamento existe é pelo método probabilístico: escolha F aleatoriamente e, em seguida, o mapeamento funcionará com alguma probabilidade. foi isso que eu quis dizer.

— Suresh Venkat

A questão está perfeitamente bem definida, mas, na minha opinião, o título é enganoso. Eu não chamaria um mapeamento F satisfazendo a condição declarada de "codificação de vetores balanceados", a menos que F seja bijetivo. É mais como uma codificação de uma sequência de n bits por um vetor balanceado.

— Tsuyoshi Ito

“Perfeitamente bem definido”, até possíveis interpretações diferentes de “eficientemente”, quero dizer. Mas esse não é o objetivo do meu comentário anterior.

— Tsuyoshi Ito

Respostas:

Vamos considerar as cadeias bits . Definições: $n$ $x$

= sequência de bits com os últimos bits complementados. $f(x,i)$ $x$ $i$
= "desequilíbrio" de : número de 1s em número de 0s em . $b(x)$ $x$ $x$ $-$ $x$

Agora corrija uma string . Considere a função . Observações: $x$ $g(i) = b(f(x,i))$

. $g(0) = b(x)$
. $g(n) = -g(0)$
para todos . Nós removemos um 0 e adicionamos um 1 ou vice-versa. $|g(i) - g(i+1)| = 2$ $i$

Agora segue-se que existe um tal que . $i$ $-1 \le g(i) \le +1$

Portanto, podemos construir uma sequência de bits seguinte forma: concatenar e a codificação binária do índice . O valor absoluto do desequilíbrio de é . Além disso, podemos recuperar dado ; o mapeamento é bijeção. $(n+O(\log n))$ $y$ $f(x,i)$ $i$ $y$ $O(\log n)$ $x$ $y$

$O(\log n)$ $y$ $O(\log n)$ $0$

— Jukka Suomela
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b (x) na terceira linha deve ser b (y).

— Emil

Eu acho que é possível adicionar outro bit à string x para garantir que ela tenha comprimento uniforme (para que você possa ter certeza de que g (i) é zero para alguns i).

— Emil

g (i)

$g(i)$

i

$i$

g (i)

$g(i)$

i

$i$

1

$1$

i

$i$

@Jukka: Ah sim, eu vejo.

— Emil

g (i)

$g(i)$

i

$i$

i

$i$

01

$01$

10

$10$

2 \log (n)

$2\log(n)$

$k$ $n$ $n/2$ $k\leq{n-1\choose n/2}$ $k$ $(n-1)$ $n/2$ $n-1$ $k-{n-1\choose n/2}$ $(n-1)$ $n/2-1$

— Zeyu
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E se você reutilizar o valor de um coeficiente binomial para calcular o próximo coeficiente binomial necessário, todo o algoritmo será executado no tempo O (n).

— Tsuyoshi Ito

Obrigado! Isso faz sentido. Eu acho que o tempo de execução dependerá do modelo computacional. Se você pode executar operações em números de n bits em tempo unitário, a implementação por Tsuyoshi Ito será executada em O (n) tempo. Por outro lado, se você contar operações de bits, o tempo será O (n ^ 2), eu acho.

— Piotr