Multiplicação de matrizes circulantes com uma matriz diagonal

Seja , B i uma sequência de matrizes circulantes de tamanho n × n .$A_{i}$$B_{i}$$n \times n$

Sabemos que pode ser calculado em tempo quadrático (use FFT para diagonalizar e adicionar matrizes diagonais e aplicar IFFT).$\sum_{i=1}^{n}A_{i}B_{i}$

Supondo é uma matriz diagonal arbitrário (para simplicidade, deixar R ser n th raiz da unidade e considerar os elementos da diagonal como todos os poderes distintos menos do que n de r ).$D$$r$$n$$n$$r$

Qual é a complexidade de ? Eu suspeito que seja quadrático, pois estou incluindo a mesma matriz diagonal (termos O ( n ) ) em cada termo.$\sum_{i=1}^{n}A_{i}DB_{i}$$O(n)$

Considere uma matriz circulante de tamanho n × n com a primeira linha feita de potências distintas menores que n de r . Seja X i e Y i para i = 1 → n sejam matrizes diagonais de classificação completa.$R$$n \times n$$n$$r$$X_{i}$$Y_{i}$$i=1\rightarrow n$

Qual é a complexidade de ? Mais uma vez, suspeito que isso seja quadrático.$\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$

As matrizes e R definidas em relação a r são artificiais. Eu estou olhando para o caso de diagonal geral D e geral-rank completo circulant R .$D$$R$$r$$D$ $R$

$\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$$X_i$$Y_i$$A$$X_i$$i$$B$$Y_i$$i$$AB$$R$$\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$$R$$AB$$\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$

$\sum_{i=1}^{n}A_{i}DB_{i}$$A_i$$B_i$$A_i$$B_i$$D$$\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$$2n+1$$n$$n^2\log n$
$D$$D$$r^i$$r$$n$$D$$D$