Teoria da complexidade quando um oráculo faz parte da entrada

A maneira mais comum pela qual os oráculos ocorrem na teoria da complexidade é a seguinte: Um oráculo fixo é disponibilizado para, digamos, uma máquina de Turing com certos recursos limitados e estuda-se como o oráculo aumenta o poder computacional da máquina.

Há, no entanto, outra maneira pela qual os oráculos às vezes ocorrem: como parte da entrada . Por exemplo, suponha que eu queira estudar algoritmos para calcular o volume de um dado polítopo de alta dimensão. Classicamente, o polytope precisaria ser especificado, fornecendo uma lista de suas facetas ou alguma outra representação explícita. No entanto, também podemos colocar o problema de calcular o volume de um politopo especificado por um oráculo de volume., que toma as coordenadas de um ponto no espaço como entrada e gera "yes" se e somente se o ponto especificado estiver dentro do politopo. Em seguida, podemos perguntar quais recursos computacionais são necessários para calcular o volume de um politopo especificado dessa maneira. Nesse caso em particular, temos o belo esquema de aproximação de tempo polinomial de Dyer, Frieze e Kannan e, curiosamente do ponto de vista da teoria da complexidade, uma prova de que a aleatoriedade ajuda de maneira essencial para esse problema, pois nenhum algoritmo determinístico pode executar tão bem quanto o algoritmo Dyer-Frieze-Kannan.

Existe uma maneira sistemática de estudar a teoria da complexidade dos problemas em que os oráculos são fornecidos como parte da entrada? De alguma forma, reduz à teoria usual das classes de complexidade com oráculos? Meu palpite é que não, e que, como existem muitas maneiras diferentes de fornecer um oráculo como parte da entrada, todo problema desse tipo deve ser tratado de maneira ad hoc. No entanto, eu ficaria feliz em provar que estou errado neste ponto.

É chamado de teoria da complexidade do tipo 2. Há um artigo de Cook, Impagliazzo e Yamakami que o vincula muito bem à teoria dos oráculos genéricos.

Isso deve estar longe de ser uma resposta completa, mas espero que aponte para alguns lugares para se olhar.

Problemas em que parte da entrada é dada como oráculo são chamados de problemas com entradas implícitas . É um modelo conveniente, por exemplo, ao estudar provas probabilisticamente verificáveis .

Uma importante área de estudo sobre os problemas com entrada implícita é a teoria da complexidade da consulta , onde a complexidade é medida apenas pelo número de consultas ao oráculo de entrada, ignorando a quantidade de computação entre as consultas. Muitas classes de complexidade têm suas contrapartes na complexidade da consulta, e uma separação entre classes de complexidade na complexidade da consulta geralmente implica uma separação do oráculo entre as classes correspondentes na complexidade computacional.

Não conheço o estudo de classes de complexidade de problemas com entrada implícita (em vez de problemas individuais), levando em consideração o custo da computação, mas provavelmente algumas pessoas sabem.

O modelo em que a entrada é fornecida como um oráculo é estudado na teoria da computabilidade e na análise computável. Um dos modelos que parecem mais próximos do que você deseja é o modelo TTE (Efetividade do Tipo Dois). Uma boa referência para isso é o livro de Klaus Weihrauch, " Computable Analysis ". Ele também fala brevemente sobre complexidade no capítulo 7.

O livro de Ker-I Ko, " Complexidade computacional de funções reais ", discute outro modelo de acesso ao oráculo que parece mais adequado à complexidade. As questões sobre a representação de objetos de tipo superior e o método para acessar o oráculo são assuntos delicados. Veja, por exemplo, o artigo recente de Stephen A. Cook e Akitoshi Kawamura, " Teoria da complexidade para operadores em análise ", do STOC 2010 e sua tese de doutorado . Uma das principais questões é que, para tornar o modelo razoável, é necessário dar à máquina tempo suficiente para processar as respostas do oráculo (caso contrário, não é possível nem computar o operador do aplicativo). Para tempo polinomial e espaço polinomial, isso pode ser feito usando polinômios de ordem superior baseados em Stephen A. Cook e Bruce M. Kapron 'Uma nova caracterização da viabilidade do tipo 2 "FOCS 1991 e" Caracterizações dos funcionais básicos viáveis ​​do tipo finito "STOC 1989.