Exemplos de brinquedos para barreiras à

Existem exemplos de brinquedos que fornecem insights 'essenciais' para a compreensão das três barreiras conhecidas ao problema - relativização, provas naturais e algebrização?$P = NP$

Deixe-me dar um exemplo de brinquedo da barreira da relativização. O exemplo canônico é o teorema da hierarquia de tempo que . A prova (por diagonalização) é apenas um pouco mais envolvente do que a prova de que o problema de parada é indecidível: definimos um algoritmo A ( x ) que simula o x th algoritmo A x na entrada x diretamente passo a passo para t ${\bf TIME}[t(n)] \subsetneq {\bf TIME}[t(n)^2]$$A(x)$$x$$A_x$$x$ passos e, em seguida, gera o valor oposto. Argumentamos então que A pode ser implementado para ser executado em t ( | x | ) 2 vezes.$t(|x|)$$A$$t(|x|)^2$

O argumento funciona igualmente bem se equiparmos todos os algoritmos com acesso a um conjunto arbitrário de oráculo , que assumimos que podemos solicitar consultas de membros, em uma etapa da computação. Uma simulação passo a passo de A O x também pode ser realizada por A , desde que A tenha acesso ao oráculo O também. Em notação, temos T I M E O [ t ( n ) ] ⊊ T I M E O [ t ( n ) 2 ] para todos os oráculos $O$$A_x^O$$A$$A$$O$${\bf TIME}^O[t(n)] \subsetneq {\bf TIME}^O[t(n)^2]$$O$. Em outras palavras, a hierarquia do tempo se relativiza .

Podemos definir oráculos para máquinas nondeterministic de uma forma natural, por isso, faz sentido definir classes e N P S com relação a oráculos. Mas existem oráculos S e S ' em relação ao qual P S = N P S e P ó ' ≠ N P O ' , de modo que este tipo de simulação argumento directa na hierarquia tempo teorema não irá funcionar para resolver P contra N $P^O$$NP^O$$O$$O'$$P^O = NP^O$$P^{O'} \neq NP^{O'}$$P$$NP$$P$$NP$

O acima é, obviamente, um exemplo de brinquedo - existem muitos outros exemplos mais complicados de argumentos de complexidade que ainda se relativizam (isto é, se sustentam quando oráculos arbitrários são introduzidos).